初中數學軸對稱這部分中，等腰三角形是非常重要的考點，關於等腰三角形部分相關的證明，是需要同學們掌握的。我們一起學習一下，等腰三角形中，常見的證明思路，通過實例詳解，希望同學們能夠結合具體的習題，進行鞏固練習，將這部分的內容掌握起來。
等腰三角形證明角相等時，常常利用「三線合一」來進行證明。「三線合一」即底邊的高線與中線，及其底邊所對角的角平分線是同一條直線。
例題1．如圖，已知AB＝AC，BD⊥AC於點D.求證：∠DBC＝1/2∠BAC.
【詳解】:證明：過點A作AF⊥BC於點F.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠CAF＝∠BAF＝1/2∠BAC.
∵AF⊥BC，BD⊥AC，∴∠AFC＝∠BDC＝90°，即∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°.∴∠DBC＝∠CAF.∴∠DBC＝1/2∠BAC.
例題2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE於點E，CE＝1/2BC，點E在△ABC外．求證：∠ACE＝∠B.
【詳解】：證明：過點A作AD⊥BC於點D.∵AD⊥BC，AE⊥CE，∴∠ADB＝∠E＝90°.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC.∵CE＝1/2BC，∴BD＝CE.又∵AB＝AC，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE.∴∠ACE＝∠B.
「三線合一」的利用，不僅可以用於證明角的相等，還可以來證明兩線的垂直關係。
例題3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E在CA的延長線上，點F在AB上，AE＝AF，AD是高，試判斷EF與BC的位置關係，並說明理由．
【詳解】：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD.∵AE＝AF，∴∠E＝∠EFA.∵∠BAC＝∠E＋∠EFA＝2∠EFA，∴∠EFA＝∠BAD.∴EF∥AD.∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
除了上面的「三線合一」，也經常利用平行線來證明等腰三角形。
例題4．如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線於點E，交BC於點G，且AE∥BC.
(1)求證：△ABC是等腰三角形；
(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周長．
【詳解】：(1)證明：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE.∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2)∵F是AC的中點，∴AF＝CF.在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG.∴GC＝AE＝8.∵GC＝2BG，∴BG＝4.∴BC＝12.∴△ABC的周長＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.
例題5．如圖，點E在△ABC的邊AC的延長線上，點D在邊AB上，DE交BC於點F，DF＝EF，BD＝CE.求證：△ABC是等腰三角形．
【詳解】：過點D作DG∥AC交BC於點G，∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB.
在△GDF和△CEF中，∴△GDF≌△CEF(ASA)．∴GD＝CE.∵BD＝CE，∴BD＝GD.∴∠B＝∠DGB＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．