2019年9月5日，2020年物理學新視野獎（New Horizons in Physics Prize）宣布授予凝聚態物理學家陳諧，以表彰她對於理解拓撲物質狀態及其關係的深刻貢獻。今天的文章就將介紹陳諧近期在拓撲序方面的工作。
凝聚態物理學家正嘗試列舉和分類所有可能的相。如果實現了完整的分類，不僅可以更好地解釋目前為止自然界中已知的相，還可能指引新材料和新技術的發展方向。
撰文 | N. Wolchover
翻譯 | 烏鴉少年
審校 | 文小剛、陳諧
在過去三十年裡，凝聚態物理學家發現了物質的相的嶄新領域：相互作用粒子的集體運動所演生的新型量子物態。這些新的物質狀態迥異於通常的固態、液態或氣態，只有在冷卻到接近絕對零度時才可能出現，在如此寒冷的條件下，相互作用粒子由於其量子特性，在時空中作十分有規則的集體運動，掩蓋了單個粒子的個性，從而導出了全新的量子物態。這些集體運動就像是完美的集體舞，描寫了最低能量的基態。不同的集體舞給出不同的量子物態。它們有些已經在實驗室中實現，而另一些只是理論上可能的存在。
上世紀80年代發現的分數量子霍爾效應（fractional quantum Hall effect）就對應於一類像華爾茲一樣的集體舞。如果電子集體運動中有點缺陷，那麼這些缺陷會有較高的能量，代表基態上的激發。實驗表明，這些激發有時表現的像1/3個電子，或其它分數電子（帶分數電荷）。像華爾茲一樣的電子集體運動還會導致材料完全沒有電阻的導電錶面。
在另外一些材料中，電子的集體運動表現的像是有零質量的電子。還有一些材料中，電子集體運動像是有分叉的弦網液體，這會導出更加奇特的、以前從沒想到過的新性質。這些新性質可以給出不受環境幹擾的量子記憶，並可用來做拓撲量子計算。
2005年，科學家又發現了一種新型量子物態 ，其電子集體運動帶有內在的分層結構。某些這種分層量子物態會有更好的不受環境幹擾的量子記憶，但用其做量子計算不是很方便。
分數量子霍爾效應：
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.41.7653
上文提及的2005年關於 Chamon model 的相關研究：
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.94.040402
０．探索所有可能的相
如今，為了發展量子計算機，微軟和其他機構的研究小組正競相將量子信息編碼進這些由各種各樣集體舞所描寫的拓撲物態當中。
同時，就在最近，在理解可能產生的不同集體行為背後的模式方面，凝聚態物理學家取得了重大進展，他們的目標是列舉和分類所有可能的物相。如果實現了完整的分類，不僅可以解釋到目前為止自然界中已知的所有物相，而且還可能指引新材料和新技術的方向。
在眾多理論物理學家的帶領下，加上數學家的貢獻，研究人員已將大量一維或二維空間中可能出現的「有能隙」物相進行了分類，方法是將物質與其量子糾纏結構（也被稱之為量子拓撲結構）聯繫起來。（量子拓撲結構被張量範疇學這一近代數學分支所描寫。）他們也開始探索在接近絕對零度時，三維物質可能出現的物相，這是目前研究中的空白地帶。（編者按：最近蘭天、孔良、文小剛在這方面取得了突破性進展。）
有能隙相（gapped phase）的基態具有如下特性：最低能量態足夠地遠離高能量態，或者說與高能量態存在能隙，所以系統穩定地處於最低能量的基態。只有有能隙量子相具有明確的粒子形式的激發。無能隙相（gapless phase）如同漩渦狀的物質迷霧或者量子湯一般，在相的圖景中，很大程度上仍然是未知的領域。
普林斯頓大學的凝聚態物理學家 Michael Zaletel 說，科學家尋求的「並非一個特別的物理學定律，而是所有可能性的空間。某種程度上，這是更加美麗而深刻的想法。」 或許令人驚訝的是，所有可能出現的相的空間本身是一個數學對象，它「有著如此令人難以置信的豐富結構，我們認為在一維和二維，它最終與這些美麗的量子拓撲結構一一對應。」
圖１．陳諧是加州理工學院的凝聚態物理學家。她說，分類計劃的「宏偉目標」是列舉任何特定類型粒子可能產生的所有物相。陳諧手中的莫比烏斯帶是一種奇特的拓撲結構，它只有一個面，一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。莫比烏斯帶的形狀在彎曲、伸縮或任意的形變下保持不變，也即具有拓撲不變性。
哈佛大學的 Ashvin Vishwanath 說，在物相的圖景中，「所有的可能性都能夠被有規律地分類。一切似乎都是可以被解釋的。」——這又似乎太過巧合，讓他感到困惑。他認為，列舉物質的相可能就像是「集郵」，「每一張郵票只有一點不同，且不同的郵票之間彼此沒有聯繫」。相反，物相的分類「更像是元素周期表，存在很多元素，但元素都可以被劃分為人們可以理解的不同的類。」
儘管對量子物態及其演生粒子的行為進行分類對理解自然的基本定律看似並不具有重要性，但包括麻省理工學院的文小剛在內的一些專家卻認為，各種不同的量子物態會演生岀各種不同的物理規律，而這些物理規律，有些正是描寫自然的基本物理定律。所以基本粒子本身可能起源於許許多多有糾纏的量子信息（量子比特），文小剛稱之為「量子比特海」（qubit ocean）。
例如，一種名為「弦網液體」（string-net liquid）的物相可以從三維的量子比特系統中產生，並具有與所有已知的基本粒子看起來相似的激發。文小剛說：「真正的電子和真正的光子可能只是弦網的漲落。」
譯者註：普通物質通過粒子凝聚形成有序的物相，而根據「弦網凝聚」（string-net condensation）理論，拓撲相（topological phase）的形成是通過弦網凝聚。弦網凝聚為統一三維及更高維的規範玻色子和費米子提供了一種機制。弦的密度漲落對應規範玻色子（比如光子），弦端則對應費米子（比如電子）。
圖２．弦網液體（string-net liquid）
１．從對稱性到「拓撲序」
在這些絕對零度的物相出現之前，物理學家曾認為，他們已經弄懂了所有的物相。在二十世紀五十年代，只要通過將相變過程描述成對稱性的破缺（break of symmetry），就可以解釋當水結成冰時發生了什麼：液態水在原子尺度上具有旋轉對稱性，即在每個方向上看起來都一樣，而冰中的水分子鎖定在晶體的行和列中。
1982年，事情發生了變化，在超低溫條件下，二維電子氣的分數量子霍爾態被發現。這些奇特的物質狀態具有攜帶分數電子電荷的演生粒子，它們沿著系統的邊緣單向前行，永不回頭，因而沒有電阻。
不同的分數量子霍爾態具有相同的對稱性，因而不能用朗道的對稱性破缺理論來描述，它們代表了一種新的序。文小剛說：「當時沒有辦法用不同的對稱性來區分這些物相。」
圖3．文小剛，物理學家，美國國家科學院院士，麻省理工學院終身教授，研究領域為凝聚態物理理論。
在1989年，文小剛把分數量子霍爾態，不放在平面上，而是放在不同的拓撲流形——比如像球面或環面的表面一樣的連通空間上，以此來探測分數量子霍爾態中所隱含的新範式。
拓撲涉及這些空間全局的、不變的屬性，不會因局域形變而改變。對一個拓撲學家而言，只是通過改變物體表面的形狀，可以把一個甜甜圈變成一個咖啡杯，因為這兩種物體的表面都有一個孔洞（甜甜圈的中心和咖啡杯的手柄），在拓撲結構上是等同的二維環面。相反地，他可以任意拉伸或擠壓，但即便是最具可塑性的甜甜圈也會「拒絕」成為一塊餅乾。
文小剛發現，把量子霍爾態放到具有不同拓撲結構的空間上，可以揭示量子霍爾態中的新特性。他創造了「拓撲序」（topological order）這一新名詞來描述這些物相的本質。其他理論物理學家也在揭示物相與拓撲的聯繫。隨著許多更奇特的物相被發現，事情變得清楚無疑，那就是拓撲與對稱性為分類提供了很好的組織架構。
「拓撲序」論文：
https://arxiv.org/pdf/cond-mat/9506066.pdf
拓撲相（topological phase）只在接近絕對零度時出現，因為只有在如此低的溫度下，粒子的量子運動會相互關聯，形成一種集體的模式（這就是量子糾纏模式）。這一全局的量子糾纏模式將所有的粒子連接起來。這種長程糾纏模式是拓撲的，不受局域變化的影響，就像流形中孔洞的數目一樣。
圖4．分類方法
２．根據拓撲結構分類物質的相
考慮系統中最簡單的拓撲相——所謂的「量子自旋液體」，量子自旋液體由二維的「自旋」晶格組成，或是由指向上下兩個不同方向、或以某種概率同時指向上下兩個方向的粒子組成。
在絕對零度時，自旋液體中所有向下的自旋形成弦，這些弦形成閉合的圈。隨著自旋方向的量子漲落，整個材料中圈的圖樣也不斷變化：向下的自旋形成的圈合併成更大的圈，或者分成較小的圈。在量子自旋液體中，系統的基態是所有可能的圈的圖樣的量子疊加。
圖5．量子自旋液體。向上的自旋可看作是背景，向下的自旋形成沒有端點的弦。弦的自由集體運動所形成的弦液體，是一種量子自旋液體，其帶有 Z2 拓撲序。
要將糾纏模式作為一種拓撲序來理解，不妨像文小剛所做的那樣，想像量子自旋液體包裹在環面上，一些圈圍繞著圓環的孔洞，一些圈穿過孔洞。由於這些圍繞和穿過孔洞的自旋圈，量子自旋液體不是以所有圈的圖樣疊加而成的單一基態存在，而是處於四種分立的基態之一，這四種基態對應於自旋圈圖樣的四種不同疊加態。
圖6．帶有Z2拓撲序的量子自旋液體，在環面上有四個簡併基態。
如圖6所示，基態A是偶數的圈圍繞孔洞、偶數的圈穿過孔洞的所有可能的自旋圈圖樣的疊加。基態B有著偶數的圈圍繞孔洞、奇數的圈穿過孔洞；基態C和D分別對應於奇數-奇數、奇數-偶數的纏繞。
即使自旋圈的圖樣存在局域漲落，但系統處於哪個基態是保持固定的。例如，如果自旋液體有偶數的圈圍繞環面的孔洞，其中兩個圈可能接觸而合併成一個不再圍繞孔洞的圈。圈的數量減少了兩個，但仍然是偶數。按照 Z2 拓撲不變量分類（奇偶分類），只有奇數和偶數兩種拓撲上不等價的結構，因此，系統的拓撲序不變。系統的基態不受局域變化的影響，具有拓撲不變性。
圖7．量子自旋液體的拓撲不變性：圈合併，但拓撲序不變。
未來的量子計算機可以利用這種不變的性質。Zaletel 曾研究過自旋液體和其他量子相的拓撲性質，他解釋說，具有四種不受局域形變或環境幹擾影響的拓撲基態「提供了一種存儲量子信息的方法，因為信息位元可以存在於基態」 。
有拓撲序的自旋液體在環面上一般都擁有拓撲保護的基態（topologically protected ground state），但研究人員最喜歡的對象其實是 Z2 自旋液體（Read-Sachdev 1990, 文小剛 1990）或 Toric 編碼（Toric code）模型。Toric 編碼模型是加州理工學院的數學物理學家 Alexei Kitaev 在1997年從理論上構建的、能實現 Z2 自旋液體的嚴格可解模型。在過去的十年裡，Z2 自旋液體已經在實驗上實現。Z2自旋液體（Toric 編碼）是一種拓撲量子糾錯碼（topological quantum error correcting code），是定義在二維自旋晶格上的穩定子碼（stabilizer code）的例子。
Toric 編碼應用周期性邊界條件，自旋形成的圈本質上能夠從系統的邊緣移出，並從相反的一側重新進入，使得它們能夠環繞系統，就像圍繞環面孔洞的圈一樣，因而Toric 編碼具有平移不變性，可以存在於平面上，並且仍然保持存在於環面上的多個基態。Zaletel說：「我們知道如何在環面上的基態特性之間進行轉換，也知道粒子的行為。」
圖8．將平面的上下、左右邊分別連起來，就形成二維環面。應用周期性邊界條件的平面與環面具有等價的拓撲結構。| 圖片來源：Wikipedia
自旋液體還可以形成其它物相，在其中，自旋並不形成閉合的圈，而是形成分叉的弦的網狀結構，這就是弦網液體。根據文小剛的理論，從三維的量子比特海開始，自旋液體「能產生粒子物理的標準模型」。
３. 相的宇宙：一維、二維、三維
2009年和2010年，幾個小組的研究完成了對一維有「能隙」物相（例如粒子鏈）的分類。
圖9．物相的周期表
一維玻色子系統沒有拓撲序。但如果一維玻色子系統有對稱性的話，它們會有對稱保護拓撲序。普林斯頓大學的理論物理學家 Duncan Haldane 在80年代指出，由整數自旋所形成的一維體系都是有能隙的。這些整數自旋所形成的一維體系中，有一半具有對稱保護拓撲序（如自旋為奇數），另一半沒有對稱保護拓撲序（如自旋為偶數）。奇數自旋鏈在兩端會產生半自旋粒子。因為數十年關於拓撲相的工作，Haldane 與 David Thouless 和 J. Michael Kosterlitz 一起獲得了2016諾貝爾獎。
這些一維玻色粒子鏈的對稱保護拓撲序不是源於長程量子糾纏，而是來自於短程糾纏與對稱性的不同搭配。有趣的是，一維費米子鏈具有兩個有能隙的相，一個有拓撲序（長程量子糾纏），其端點有馬約拉納零能模，而另一個則沒有拓撲序。
圖10．顧正澄，香港中文大學。他和文小剛在2009年提出了對稱保護拓撲序的概念。
對稱保護的拓撲相（symmetry-protected topological phase）雖然有對稱性，但描寫它的數學語言不是群論，而是「群的上同調」理論，一個很近代的數學理論。在群的上同調理論中，上同調（cohomology）是一種對拓撲空間賦予代數不變量的方法。上同調群中的元素（對應於不同的對稱保護拓撲相）是一種類似於流形中的孔洞數目的不變量。
二維空間的物相更為豐富和有趣。它們可以具有與量子糾纏的長程模式相關的拓撲序，如自旋液體中由向下的自旋所形成的漲落的圈狀圖樣，因而被一些專家認為是「真正的」拓撲序（其於1989被詳細描述）。
在過去幾年中，研究人員已經證明，這些糾纏模式對應於被稱為張量範疇（tensor category）的拓撲結構，它列舉了物體可以融合或編織在一起的不同方式。馬德裡康普魯滕塞大學（Complutense University of Madrid）的 David Pérez-García 說：「張量範疇提供了一種數學語言，來描述各種粒子融合或編織的自治的方式。」
Pérez-García 及其他研究人員試圖從數學上證明，對於二維有能隙拓撲相的已知分類是完備的。他在2010年幫助完成了一維情況的分類——至少在人們普遍認為的假設之下，即這些物相總是被量子場論很好地近似。量子場論的數學描述把粒子的環境看成是平滑的。
Pérez-García說：「人們推測，張量範疇將涵蓋所有的二維相，但目前還沒有從數學上證明。當然，如果能證明這些並非全部的物相，那就更有趣了。奇特的事物總是有趣的，因為其中蘊涵著新的物理，而且可能有用。」
拓撲序和對稱保護拓撲序是描寫有能隙量子物相的。無能隙量子相代表了另一個可以探索的、充滿可能性的領域，然而這些複雜的物質迷霧始終難以被現有的理論方法描述。麻省理工學院的凝聚態物理學家 Senthil Todadri 說，「粒子的語言是無用的，我們將要面臨最大的挑戰。」
無能隙量子相是尋求理解高溫超導的主要障礙，並且阻礙了量子引力研究者的 「it from qubit」（萬物源自量子比特）運動。量子引力的研究者認為，不僅基本粒子，甚至包括時空和引力，都來源於某種底層量子比特海中的糾纏模式。
馬裡蘭大學的理論物理學家 Brian Swingle 說：「在 it from qubit 中，我們花費了大量時間研究無能隙量子相，因為根據現階段的理解，引力正來源於此。」 一些研究人員試圖利用數學對偶，將量子湯的圖像轉換成高一個維度的等價的粒子描述。對此，Todadri 說：「一切應該以探索的精神來看待。」
圖11．it from qubit. |圖片來源：simonsfoundation.org
在三維空間進行著甚至更為熱情的探索。已經清楚的是，當自旋或其他粒子從自身所在的鏈條或平面脫離，並填滿真實的三維空間時，會出現難以想像的量子糾纏模式。Pérez-García說：「到目前為止，在三維空間，有些東西逃脫出了張量範疇的圖像。這種激發十分奇怪，超出了我們現有的理論框架。」
４．Haah 編碼
在2005年波士頓大學的 Claudio Chamon 引入三維分層拓撲相之後，一個更瘋狂的三維拓撲相——這些拓撲相目前被統稱為分形子拓撲相（fracton topological phase）——出現在2011年。加州理工大學一位有天賦的研究生，Jeongwan Haah 在計算機上搜索尋找「 夢想編碼」方案時，發現了這個物相。Haah 發現的分形拓撲相的量子基態更加穩定，為在較高的溫度下安全地進行量子存儲提供了新的可能性。
圖12．Claudio Chamon 於2005年提出 Chamon 模型。
為了實現較高溫度下的量子存儲，Haah 不得不求助於三維物質。在二維拓撲相（如 toric 編碼）中，一個重要的錯誤來源是「弦算符」（stringlike operator）：對系統的擾動導致新的自旋弦意外地形成。這些弦有時會圍繞環面孔洞形成新的圈，使圈的數量從偶數變為奇數或者相反，將 toric 編碼轉換為其它三個量子基態之一。因為弦不受控制地增長，並環繞物體，專家們認為，在二維空間不可能實現好的量子存儲。
Haah 編寫了一個算法來搜索三維相，以避免通常的弦算符。計算機給出了17種確切的解答方案，接著他開始親自研究：其中四種物相被證實沒有弦算符，當中對稱性最高的那個現在被稱為 Haah 編碼（Haah code）。
圖13．Jeongwan Haah，凝聚態物理學家，在華盛頓州 Redmond 微軟研究院工作。他發現了怪異的具有分形特性的三維物質相。
Haah 編碼對於量子存儲有潛在的用途，但也非常怪異。在 Haah 剛做出這個令人迷惑的發現之後一兩個月，加州理工學院的凝聚態物理學家陳諧聽聞了這個消息，她那時還是一名研究生。陳諧回憶起當時的情景說：「每個人都非常震驚，我們不知道該怎麼理解它。而現在多年過去了，情況一直如此。」
Haah 編碼的數學形式相對簡單：一個兩項的能量公式的解，描述了立方晶格中與八個最近鄰相互作用的自旋。但由此生成的物相「超出了我們想像力的極限」，Todadri 說道。
Haah 編碼的特點是，電子集體運動的點缺陷具有分形結構，這種點缺陷被稱為 fracton（分形子）。一般拓撲相中的電子集體運動沒有固定的形狀，屬於一種液態集體運動，而分形拓撲相中的集體運動是非液態的，有固定的層狀結構。只有當晶格的位點被一種分形模式作用時，粒子（在分形晶格中是分形子）才能在這些位點之間跳躍。也就是說，為了使分形子交換位置，必須向系統，比如連接四個分形子的正四面體的每個角注入能量；但是當系統放大的時候，原本看似只是點狀的角會隨之放大，成為一個小的正四面體，必須向這些小正四面體的每個角也注入能量。在更精細的尺度上，會看到更小的正四面體，如此層層深入，直到晶格最精細的尺度。
圖14．正四面體分形結構。平移對稱性是位置平移後保持不變的對稱性，與之相對應，分形結構的自相似性是放大縮小變化下的不變性。 | 圖片來源：Wikipedia
這種分形行為意味著 Haah 編碼永遠不會「忘記」組成它們的底層晶格，也永遠無法如同在量子場論當中那樣，用一個平滑的流形來近似。Chamon 編碼也是如此。此外，Chamon 編碼和 Haah 編碼的基態數量隨著底層晶格的規模增長——這是絕對的非拓撲性質。（拓撲結構，比如一個環面，伸展後仍然是一個環面，並不隨尺度改變。）
Haah 編碼的量子態非常安全，因為一個完全命中所有晶格位點的「分形算符」（fractal operator）不太可能隨機出現。一種可實現的 Chamon 編碼和 Haah 編碼版本將具有很大的技術層面的意義。
Chamon 相和 Haah 相也激發了理論思考。Haah 一直在促進事情的發展。2015年，他和麻省理工學院的兩名合作者發現了現在被稱為「分形子模型」（fracton model）的一類物相的許多實例，這是 Haah 編碼較為簡單的類似物。
圖15． Chamon 模型是分形子模型家族中的第一個模型。
從那以後，陳諧和其他人一直致力於研究這些分形子系統的拓撲結構，其中一些系統允許粒子在三維體積範圍內沿著線或平面移動，這或許有助於對概念的理解，或者更容易在實驗中實現。特別是陳諧他們發現了這些分形子拓撲相中的內在分層結構。
Haah實例研究：https://arxiv.org/abs/1505.02576陳諧後續研究：https://arxiv.org/abs/1712.05892更易在實驗室實現的系統：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.119.257202
陳諧說，Haah 編碼「正在為奇特的的事物敞開大門。這說明我們對三維和更高維度所知是多麼少！因為我們對正在發生的事情還沒有系統的圖像，可能有很多東西等待著我們去探索。」
還沒有人知道，在可能的物相的圖景中，Chamon 編碼和 Haah 編碼及其類似方法處於什麼位置，或者這個可能性的空間有多大。據 Todadri 說，人們已經在對最簡單的有能隙三維相的分類方面取得進展，但是在完整的分類計劃能夠開始之前，需要對三維相進行更多的探索。他說，很清楚的是，「當有能隙物相的分類在三維空間開始時，將不得不面對 Haah 最先發現的這些怪異的可能性。」
許多研究人員認為，要捕捉Chamon 編碼和 Haah 編碼的本質，並揭示三維量子物質的所有可能性，新的分類概念，甚至全新的框架或許是必要的。
文小剛：「需要新的理論，新的思維方式。」他認為，對於長程量子糾纏的非液態模式，我們或許需要新的圖像。「我們有一些模糊的想法，但沒有非常系統的數學去實現。我們可以感覺到它大概是什麼樣子，卻仍然缺乏詳細的系統。然而這令人興奮。」
參考譯名列表
fracton 分形子
Toric code Toric 編碼
Haah code Haah 編碼
stringlike operator 弦算符
gapless phase 無能隙相
gapped phase 有能隙相
symmetry-protected topological phase 對稱性保護的拓撲相
topologically protected ground state 拓撲保護基態
chiral spin liquid phase 手性自旋液體相
CZX halozeotype state CZX halozeotype 態
Abelian fractional Quantum Hall state 阿貝爾分數量子霍爾態
spin liquid 自旋液體
string-net condensation 弦網凝聚
string-net liquid 弦網液體
quantum order 量子序
topological order 拓撲序
topological phase 拓撲相
cohomology group 上同調群
tensor category 張量範疇
topological quantum error correcting code 拓撲量子糾錯碼
stabilizer code 穩定子碼
本文編譯自quantamagazine.org，原文標題為「Physicists Aim to Classify All Possible Phases of Matter」，原文可點擊「https://www.quantamagazine.org/physicists-aim-to-classify-all-possible-phases-of-matter-20180103/」查閱。
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