數學中的量子隧穿效應

2021-01-20 高等數學

在量子力學中,電子等微觀粒子穿過「牆壁」的現象,就是量子隧穿效應


接下來開始尋找數學中的量子隧穿效應。


本文的誕生純屬小編腦洞大開,直白點就是胡思亂想,歸根結底是源於「書讀得太少,卻想得太多」。


連續函數從直觀上來說,就是一條連綿不斷的曲線。


而用數學的語言來描述,就是當自變量做微小變動的時候,函數值也做微小的變化;或者說,函數在任何時候都不會產生突變或躍遷



2.1 定義



這個性質太牛13了,它告訴我們,若一個函數在點連續,則其極限值就可用函數值來計算。


當然如果你連函數值都不會計算,那麼可以非常嚴肅地告訴你,你選錯專業啦~

例1:計算

這種類型的題目是大家最喜歡做的,直接將代入計算即得:


2.2 初等函數的連續性


等一下,別高興太早,你是怎麼知道函數處是連續的?難道需要用那個令人討厭的語言來證明嗎?



上述定理告訴我們,函數處是連續的,因此可直接代入運算。


好了,有同學又問了,該如何判斷一個函數是否為初等函數?


除了分段函數,目前大家接觸到的函數都是初等函數!當然,有一些分段函數也是初等函數,比如絕對值函數:


強行插入一個問題:根據下列初等函數的定義,你能構造出一個非初等函數嗎?


定義:由基本初等函數經過有限次四則運算&複合運算並可用一個式子表達的函數,稱為初等函數。


2.3 等價定義


若在 中,用表示自變量的增量,用表示函數增量,則連續有如下等價定義。



小編第一次見到「增量」這個詞時,差點就被騙了,傻傻地以為只能增加不能減少。


就在剛才,有人悄悄告訴小編:本月的工資增量為 -600 元時,

所以,小編提個鬼知道有沒有人會搭理的建議:麻煩以後編教材的蜀黍將「增量」換成「改變量」行不?


2.4 連續複合函數的極限法則


定理:設函數連續,則


上述定理就是連續複合函數的極限法則,其成立的嚴格條件請查看教材。


這就是數學中的量子隧穿效應。當函數連續時,可穿越,和聯姻,踐行千年之約、並結秦晉之好!

更一般地,當函數都連續時,則有


也就是說,踏遍千山萬水,穿越重重阻隔後,終與其有情人長相廝守!


這是數學中怎樣一段盪氣迴腸的愛情故事啊。



例2:設 求下列極限

解:由於是連續的。此時,具有量子隧穿效應,

於是


量子隧穿效應比較常見的場合是:


3 間斷點

宏觀世界所呈現的連續現象是由微觀世界的量子化本質決定的。


因此,連續與間斷既對立又統一。

從時斷時續、斷斷續續、連綿不斷等就可窺見端倪。


當然,小編今天不是來談物理的,也不是來講語文的。


根據連續函數定義可知,函數在一點連續,必須同時滿足如下條件:

 

只要上述三個條件中的任何一個不滿足,則這點就是不連續點(或間斷點)。

 

下面是間斷點的分類依據。


左右極限都存在的間斷點為第一類;左右極限至少有一個不存在的間斷點歸入第二類.


其中第一類間斷點又分為:可去間斷點和跳躍間斷點。


而第二類間斷點又分為:無窮間斷點、振蕩間斷點、其他間斷點(比如,狄利克雷函數的間斷點)。


關於各種間斷點的直觀印象,有圖才有愛










最後,給出判斷間斷點類型的一般步驟:

確定函數可能的間斷點(無定義的點,分段函數的分界點等);

求左、右極限;

根據左右極限的不同情況,確定間斷點類型.


已沒有力氣舉慄子了,就這樣吧!


讓我們再多看一眼量子隧穿效應

其實說白了就是,極限運算和函數運算 是可交換的!是不是有點大跌眼鏡?


但你千萬別小看了數學中運算的交換性。


假如兩個數的乘法不滿足交換性的話,也就是說:.  那麼隨之而來的將是一系列麻煩和隨時都可能掉進去的陷阱


注意:沒有交換律,以下等式將不再成立。


那如果要是數的乘法運算連結合律

都不滿足的話,那就太可怕了......


實數和複數可以分別稱為一元數&二元數,它們的乘法既滿足交換性又滿足結合律。


但非常遺憾的是:Hamilton四元數不滿足乘法的交換性,而Cayley八元數連結合律都不滿足!!!

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