微積分在經濟中的應用(2)

2020-11-22 網易

三. 一商家銷售某種商品的價格滿足關係 P = 7－0.2x(萬元/噸), x為銷售量(單位:噸), 商品的成本函數 (萬元). (1) 若每銷售一噸商品政府要徵稅t (萬元), 求該商家獲最大利潤時的銷售量; (2) t為何值時, 政府稅收總額最大.

解. 設L(x)為利潤函數, 則

      

      

         

設稅收總額為 . . 即 t = 2時政府稅收總額最大.

四. 設平均收益函數和總成本函數分別為 , (a > 0, b > 0), , 當邊際收益 , 需求價格彈性 時, 其利潤最大. (1) 求利潤最大時的產量x; (2) 確定常數a, b.

解. 設需求量為x. 利潤為L(x), 則

      L(x) = R(x)－

所以

     

因為利潤最大時 , 所以

      0 = 67

解得  x = 11, x = 3.

       L(x) = R(x)－

          =

      

      i) 當x = 11時

            67 =

得        

67 =

於是解得 . 且 . 即x = 11時利潤L(x)達到極大值. 此時

    

         

     

ii) 當x = 3時, 同上得到

    

解得 . 此時 .即x = 3時利潤L(x)達到極大值. 此時

    

         

    

所以, 當 利潤最大.　



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