過兩特殊拋物線焦點的直線交其4點與原點相連4直線斜率之積為定值1

2021-01-21 桃李文化數學物理專區

我們知道，拋物線有很多性質，特別是過拋物線焦點的直線與其交點的相關結論（如焦點弦、焦點三角形、交點坐標、焦點圓等）不但神奇，而且表達式具有對稱、形美等特點，記住相關性質與結論在做填空或選擇題時可以直接套用。

今天，我們探討過拋物線焦點直線斜率之積的相關問題，請看。

解法思路很簡單，遵循圓錐曲線與直線相交的相關問題的一般解答流程：設點設直線，聯立方程組，消元成一元二次方程，利用韋達定理，判別式求範圍等。

可以猜想，如圖（2），過開口方向向右的拋物線的焦點的直線交其兩點與原點相連的兩條直線斜率之積是否也有同樣的結果呢？請大家嘗試。

下面我們繼續探究拋物線開口方向處於另外兩種（上下）情形的類似性質。

同樣，如圖（4），我們可以得到過開口方向向上的拋物線的焦點的直線交其兩點與原點相連的兩條直線斜率之積是相同定值的結論。

綜上所述，我們可以輕鬆得到如下神秘結論：

過開口方向相差九十度的兩條拋物線的焦點的直線交其4點與原點相連的4直線斜率之積為定值1.

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