斜率不存在的直線有大用

2021-03-01 高考數學左老師

2010年江蘇高考出了下面這樣一道圓錐曲線綜合題.

前2問給你送分

分析：第1問求軌跡，用直接法.

第2問求T點的坐標，因為T點是直線TA與TB的交點，聯立兩條直線的方程即可，思路較清晰，運算量也不大.


注意看清題目，是求軌跡方程還是求軌跡.


通常怎麼求定點？

童鞋們關注的是第3問的定點問題.


思路貌似也是清楚的：求M點坐標，求N點坐標，寫直線MN的方程，研究定點問題.

但是運算量略大.既然已經走到這一步，那就堅持往下走吧.


劃重點：用斜率不存在的直線鎖定定點

下面來研究定點問題.

首先要寫出直線MN的方程.

顯然，直線MN不會與x軸重合，但是有可能與x軸垂直，也就是說直線MN的斜率有可能不存在.

先討論斜率不存在的情況呢，還是先討論斜率存在的情況呢？

在《巧解定點問題：特殊找位置，一般來驗證》中，我們談到，當定點坐標較難確定時，我們採用「特殊找位置，一般來驗證」的辦法，能夠使得運算量大大簡化.

所以，我們可以通過MN與x軸垂直的方法，找到可能的定點坐標；然後通過一般化的情況驗證此定點坐標.

這樣做的話，比正面推理的方法，要簡便地多.


如果直線MN過定點的話，只能過點E(1,0).

驗證過程不可省，但可以很快

下面用一般情況來驗證.

因為有了目標點E(1,0)，可以用多種方法來驗證.

方法1：利用斜率相等證明M,E,N三點共線.



方法2：寫出直線方程，然後賦值.


令y=0之後，大家猜一猜我有沒有真的去計算x的值？

嚴謹的做法，要親自去解；不嚴謹的做法，直接寫結果即可.本題要證明直線必過定點，這個結論肯定是正確的.

而我們通過特殊位置尋找到了直線與x軸的交點(1,0)，直線要過的定點也只能是(1,0)了，別無選擇.

特殊法是不是幫你節省了不少運算量？

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