探照燈的反光曲面;設所求的曲面是由曲線繞x軸旋轉而成的,並設光源位於原點O,而以p(x,y)表示曲線y=y(x)上的動點,以PQ表示曲線在P點的切線。
我們需要自光源O發出的光線經反光曲面反射而成平行於x軸的光束,由光學的反射定律(光線的入射角等於反射角),推出α=β,而平行於直線的同位角推出γ=α+β=2β,而切線PQ的斜率為tanβ=dy/dx,向徑OP的斜率為tanγ=y/x,所以根據三角公式
推出
由此不難解出
或者等於
注意只要把y換成-y,方程(7)就變成(6),由此不妨只討論(6),明顯根據前幾篇文章可知,它是一個齊次方程
按方程(6)的形式,把x看做y的未知函數比較方便,所以把(6)寫成
令x=yu,代入上式得到
從而可知
再分離變量得到
取不定積分,得到通積分
得到
化簡就可以得到
上述兩個式子相加得到
再利用關係式u=x/y,就得到方程,則得到方程(8)的通解為
其中C是任意常數,這是拋物線的方程,容易畫出它的圖形,這就說明了為什麼探照燈的反光鏡面須要做成旋轉拋物面。