matlab符號微積分及應用舉例

2021-01-20 Asoul水雲天課堂

符號函數的極限


求符號函數極限的命令為limit ，其調用格式為：limit(f,x,a)即求函數f關於變量x在a點的極限。對於 limit函數，還有另一種調用格式，用來求單邊極限：limit(f,x,a,『right』)右極限；limit(f,x,a,『left』)左極限
例、求當n趨於無窮時，(1+1/n)^n的值。


>> syms n;

>> g=(1+1/n)^n;

>> limit(g,n,inf)

ans = 

exp(1)


exp(1)即自然常數1。
上述的方法可以用來解決函數極限相關的問題，一般在研究相關問題時，可以做出函數的圖像，更直觀的反應出極限值。
例、求當x趨於0時，函數y=sin(x^2)exp(x)的值，並會出相應圖像觀察。
exp(x)表示e^x.
例子與代碼來源於

https://jingyan.baidu.com/article/d621e8da4a4d592864913f6f.html)


syms x

y=sin(x^2)*exp(x);

limy=limit(y,x,0)

plot([-2:0.01:2],subs(y,x,[-2:0.01:2]),'r','LineWidth',2);hold on

plot(xlim,double(limy)*[1,1],'k--')


註：關於subs函數，其作用是將符號表達式中的某些符號變量替換為指定的新的變量，在此處不多做講解，具體可參考這篇文章：

https://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/53997490


符號函數的積分


函數積分主要分為定積分和不定積分兩類，matlab也有對應函數求解積分問題。
不定積分：int(f,x)即求函數f對變量x的不定積分
定積分：int(f,x,a,b)其中，a、b分別表示定積分的下限和上限。


註：當函數f關於變量x在閉區間[a,b] 可積時，函數返回一個定積分結果；當a、b中有一個是inf時，函數返回一個廣義積分；當a、b中有一個符號表達式時，函數返回一個符號函數。


本節講述的三個函數用法都比較簡單，但涉及到實際問題時，可能需要從多方面思考，下面的例子是一個比較綜合的例子（涉及到曲線擬合、繪圖、函數微分的知識），希望對讀者有所幫助。


例、根據實際測量，得到河流某處寬 600m ，其橫截面不同位置某一時刻的水深如下表所示。

(1)若此刻水流的流速為 0.6m/s ，試估計該河流此刻的流量。


(2)已知x方向 [50,60] 區間為坡式護岸的下部護腳部分，根據相關堤防設計規範，拋石護岸護腳坡度應緩於 1:1.5 （正切值），請估計水流衝刷是否已破壞該區域的護腳。


分析（1）：由於題設並沒有給出河寬與水深的函數關係，而只給出了一些相關數據，因此，首先要擬合出河床曲線，依據擬合函數，然後進行定積分，計算出河流橫截面，即可估計流量。


>> xi=0:50:600;

yi=[4.4,4.5,4.6,4.8,4.9,5.1,5.4,5.2,5.5,5.2,4.9,4.8,4.7];

p=polyfit(xi,yi,3);

plot(xi,yi,'o',xi,polyval(p,xi));

syms y x;

y=poly2sym(p,x);

s=int(y,x,0,600);

v=s*0.6;

eval(v)

ans =

   1.7874e+03

註：函數polyfit與polyval都在之前的的推文中講過，有需要者可以參考之前的推文「Matlab多項式計算」和「數學建模與MATLAB–插值與擬合」，對於poly2sym，該函數是把係數組轉換成符號多項式，因為用polyfit擬合後，返回值是一個係數組。


分析（2）：看似本問題與題設無關，但實際分析後就會發現，第一問擬合出的曲線反應的是河寬與水深的關係，如果將h(x)全部加負號，那麼曲線就是河床曲線，那麼計算其導函數，並判斷相應範圍內導函數的取值是否大於 1:1.5，就可以判斷水流衝刷是否已破壞該區域的護腳。


>> xi=0:50:600;

yi=[4.4,4.5,4.6,4.8,4.9,5.1,5.4,5.2,5.5,5.2,4.9,4.8,4.7];

yn=-yi;

p=polyfit(xi,yn,3);

plot(xi,yn,'o',xi,polyval(p,xi));

syms y x yii;

y=poly2sym(p,x);

yii=diff(y,x);

x=50:60;

eval(yii)

ans =

   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0032   -0.0032   -0.0032   -0.0032   -0.0032   -0.0032


可以看出，範圍內的導數全都全都小於1：1.5，即水流衝刷還沒有破壞該區域的護腳。

本節內容就到此結束，下節將推出如何用matlab處理一些級數相關的數學問題，敬請期待！

關於MATLAB的學習：

大家可以關注我們的知乎專欄——數據可視化和數據分析中matlab的使用：
https://zhuanlan.zhihu.com/c_1131568134137692160

歡迎大家加入我們的MATLAB學習交流群：
953314432

相關焦點

  • matlab符號推導應用及相關技巧
    在戰略上手推公式，而在戰術上用matlab符號推導輔助和驗證可以大幅度減少出錯，並提高效率。1. 符號推導第一步，學會使用sym和syms    a.生成 單個符號變量    b.生成 單個符號變量   c.生成矩陣符號變量sym和syms的區別
  • MATLAB符號計算(收藏版)
    MATLAB符號計算1 符號計算基礎1.1符號運算1.2 符號對象1.3 符號表達式中變量的確定2 符號導數及其應用3 符號積分4 級數符號求和simplify(S)  應用函數規則對S進行化簡例8 表達式化簡舉例syms x y;s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;simplify(s)simple(s)      %MATLAB自動調用多種函數對
  • MATLAB在高等數學中的應用(極限、導數、積分)
    （一）求極限matlab中求極限的命令為limit(expr, x, a)limit(expr, a)limit(expr)limit(expr, x, a, 'left')limit(expr, x, a, 'right')其中，limit(expr, x, a)表示求符號表達式expr關於符號變量x趨近於a時的極限；limit(expr)表示求默認變量趨近於0時的極限。
  • 光敏二極體的應用舉例
    打開APP 光敏二極體的應用舉例 發表於 2019-07-10 11:24:03 我們就是利用光敏二極體的這一特點，演變出許許多多的經典光敏二極體控制電品路，從本例開始的數例介紹光敏二極體的應用電路。
  • Matlab:不定積分和定積分
    matlab中使用int()來計算一個積分。不定積分首先，通過符號變量創建一個符號函數，然後調用積分命令來計算函數的積分，示例如下：注意：matlab中計算的不定積分結果中沒有寫上常數C，讀者需要自己在使用的時候記得加上常數部分。
  • 微積分符號中的d是什麼意思
    積分中的d就是微積分的基本符號：微分，微分符號是1675年萊布尼茲分別引入，「dx」及「dy」以表示x和y的微分（differentials）,.始見於他在1684年出版的書中,這符號一直沿用至今.微分符號d取英文differential,differentiation的首個字母(difference有差距,差額的意思),其中與微分概念及符號d相關的英文單詞有divide
  • matlab中的成型濾波器設計
    matlab 中成型濾波器設計有好幾個函數：rcosineFd=9600;Fs=38.4e3;[num,den] = rcosine(Fd,Fs,'sqrt',0.25);freqz(num);其中的Fd表示輸入數據的採樣率
  • 微積分發展史,充滿爭端的過程,到底是誰最先發明了微積分?
    從年代上看，牛頓創建微積分要比萊布尼茨早，但由於英國與歐洲大陸隔絕，所建立的符號體系與運算規則不方便使用，使牛頓的微積分理論在影響上遠不如萊布尼茨。像牛頓一樣，萊布尼茨的一生在數學和物理上也有不少貢獻，在創建微積分上，他與牛頓享有同樣高的聲譽。
  • 微積分發展史，充滿爭端的過程，到底是誰最先發明了微積分？
    由於與運動學掛鈎，使「變量」和「微積分」概念更加容易接受。可惜的是，這些超前思想最初並沒有引起重視，使牛頓的這部書直到1736年才得以出版。從年代上看，牛頓創建微積分要比萊布尼茨早，但由於英國與歐洲大陸隔絕，所建立的符號體系與運算規則不方便使用，使牛頓的微積分理論在影響上遠不如萊布尼茨。
  • 大師寫的行雲流水的微積分教材:《微積分及其應用》
    ·特雷爾合著的單變量微積分教材，內容覆蓋了一元微積分的基礎，包括：數列的極限、函數的連續性、函數的微分、可微函數的基本理論、導數的應用、函數的積分、積分的方法、積分的近似計算，以及微分方程。《微積分及其應用（中譯本）》與拉克斯的另一著名教材《線性代數及其應用》簡明清晰、行雲流水的風格一致，通過引入許多背景自然的應用實例，兩位作者致力於引導讀者對微積分這一重要的基礎課題獲得理解。《微積分及其應用（中譯本）》末尾還提供了部分習題的答案。
  • 微積分發明史
    好多人覺得數學沒有用，或者用處不大，上學學習的三角函數和二元二次方程組在實際生活中根本應用不到，一般來說，只是在購物的時候用到一些加減法而已。這種想法跟微積分是牛頓和萊布尼茨發明的一樣大錯而特錯。
  • 微積分及其應用
    諮詢熱線：0471-4969085　　摘要：微積基本公式 將微積分中的定積分及不定積分緊密聯繫在一起，使生活的極限問題、經濟效益問題解決起來更容易。對微積分的學習體會　　通過對微積分的學習，我了解到定積分和不定積分兩個不同的概念，二者既有區別又有　　聯繫。首先，利用定積分可以解決求曲邊梯形的面積問題。例如：為了準確草場的畜牧量，需要先估算草場面積，對於不規則圖形的草場的面積計算，就運用到定積分，也就是「窮竭法」的指導思想。另一個概念，既不定積分，不定積分可以解決生活中的經濟成本問題。
  • 微積分原理之辨析
    為了避免符號的混亂，下面用表達微分定義的df,du,dh,dI_{x}等符號進行論證。對增量△t：有△x=h(t+△t)-h(t)，一方面dh=h'(t)dt，另一方面dIx=△x=h(t+△t)-h(t)=h'(t)dt+o(t)而h(t)不是線性函數時o(t)不為零， 所以dh和dIx在一般情況下不可能嚴格相等。既然微分符號帶來了混亂，那為什麼不用沒有問題的df,du,dh,dI等符號呢？
  • 用Python學微積分(微積分應用)
    微積分是一種非常重要的「數學分析」思想（方法），在許多領域中都有應用，比如：計算平面面積、曲線長度、空間圖形的體積、旋轉曲面面積和物理學中的「微元法
  • MATLAB基礎教程-臺大郭彥甫-學習筆記6
    問題：積分符號怎麼顯示呢？這個積分符號是用text()函數寫的 ，text函數前兩個參數是坐標，畫在哪兒。第三個參數是 積分 這個變量str，後面是一個插值slash 反斜槓 \int 是∫符號積分的表示：str=' $$ \int_ {0}^{2} x^2\sin(x) dx$$';前後都有兩個$$，然後是積分符號，\int_ 然後是上下限 {0}^{2},之後就是一個被積函數 x^2\sin(x
  • 微積分問題的MATLAB求解(一)
    後續幾期，向大家介紹微積分問題的MATLAB求解，今天講解極限，積分和微分方程的求解。1. 極限MATLAB提供了求極限函數limit()，函數調用格式為：y = limit(fun,x,x0)。I3=limit('(3*x-5)/(x^3*sin(1/x^2))',x,inf)運行程序輸出結果如下：I1 =-2 I2 =tan(a)^2 + 1 I3 =32.導數diff是求微分最常用的函數，其輸入參數既可以是函數表達式，也可以是符號矩陣
  • matlab下實現FFT信號分析
    奈奎斯特定理：對於信號分析，我們需要掌握一個定理：在進行模擬/數位訊號的轉換過程中，當採樣頻率 fs.max大於信號中最高頻率 fmax 的 2 倍時(fs.max > 2fmax)，採樣之後的數位訊號完整地保留了原始信號中的信息，一般實際應用中保證採樣頻率為信號最高頻率的
  • 寫給大學新生的 簡易微積分
    微積分是大學數學的起點，但傳統微積分與中小學數學差別過大，不易入門。
  • 撼人心靈的微積分
    馮·諾依曼也說：「微積分是近代數學中最偉大的成就，對它的重要性無論作怎樣的估計都不會過分。」 科學是無國界的，但是各國的科學作品又總是保留著各國的特點。俄羅斯或者蘇聯的微積分強調數學的嚴密性，法國強調抽象性，而英國則追求比較古典的、接近牛頓風格的數學。教育部推進雙語教學，以與國際接軌。在選材上，歐美教材具有很大的優勢。
  • 到底是誰創立了微積分?牛頓和萊布尼茨都說是自己
    這場「是誰先發明微積分」的爭論，除了破壞了牛頓與萊布尼茨各自的生活，更讓英國的學者們長期固守於牛頓的流數術，只用牛頓的流數符號，不屑採用更優越的萊布尼茨所創立的符號，最終導致英國的數學脫離了數學發展整整一個世紀。不過，除了英國以外的歐洲國家，普遍接受和採用萊布尼茨的符號和微分法。