超立體幾何:一門亟待研究的新興學科

本文中，超立體幾何是指超越三維空間的幾何學，也就是指四維及其以上的空間幾何學。關於四維空間，大多數人的理解，是依據愛因斯坦在《廣義相對論》和《狹義相對論》中提及的「四維時空」的概念。即任何物體要確定其狀態，除了長、寬、高3個維度外，還需要確定描述其運動狀態的時間維度，因而形成了「四維時空」觀。但這是物理學上的概念，從純數學的角度，或者說從幾何學的角度，存不存在四維空間呢？

在19世紀高於三維的幾何學還是被拒絕的。麥比烏斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的計算》中指出，在三維空間中兩個互為鏡像的圖形是不能重疊的，而在四維空間中卻能疊合起來。但後來他又說：這樣的四維空間難於想像，所以疊合是不可能的。這種情況的出現是由於人們把幾何空間與自然空間完全等同看待的結果。以至直到1860年，庫摩爾（ernst eduard kummer 1810-1893）還嘲弄四維幾何學。但是，隨著數學家逐漸引進一些沒有或很少有直接物理意義的概念，例如虛數，數學家們才學會了擺脫「數學是真實現象的描述」的觀念，逐漸走上純觀念的研究方式。虛數曾經是很令人費解的，因為它在自然界中沒有實在性，後來發現其在數學領域中的廣泛應用，才逐漸被人們所接受。

1844年格拉斯曼在四元數的啟發下，作了更大的推廣，發表《線性擴張》，1862年又將其修訂為《擴張論》。他第一次涉及一般的n維幾何的概念，他在1848年的一篇文章中說：我的擴張的演算建立了空間理論的抽象基礎，即它脫離了一切空間的直觀，成為一個純粹的數學的科學，只是在對（物理）空間作特殊應用時才構成幾何學。然而擴張演算中的定理並不單單是把幾何結果翻譯成抽象的語言，它們有非一般的重要性，因為普通幾何受（物理）空間的限制。格拉斯曼強調，幾何學可以為物理應用發展純智力的研究。幾何學從此開始割斷了與物理學的聯繫而獨自向前發展。經過眾多的學者的研究，遂於1850年以後，n維幾何學逐漸被數學界接受。近年來，隨著物理學超弦理論的發展，M理論揭示了空間維度可能有10維，再加上時間維度，就是11維時空向度。因此，n維幾何學的研究成為人們的熱門話題。

雖然，n維幾何學被數學界認可，但像二維平面內很難想像出第三維度是什麼樣子一樣，平時習慣於三維世界的人們，很難想像出四維空間是什麼樣子。因此，有必要使大家了解一下四維空間的知識，並展望一下它的發展前景。

我們都知道，0維可以看作一個點，1維可以看作一條直線，2維可以看作一個平面，3維可以看作有長寬高的一個體。那麼四維空間是什麼樣子呢？

其實，我們可以很容易建立起一個四維坐標系，一維坐標由一條直線構成；二維坐標系由兩條相互垂直的直線構成；三維坐標系由3條相互垂直的直線構成，如圖：

一維到三維的變化

那麼我們不難推斷出四維空間坐標系，是由4條兩兩相互垂的直線構成。如圖：

四維坐標系

在這個坐標系中，除了三維坐標系X、Y、Z軸外，還有一個E軸（我們姑且將第四維坐標軸稱之為E軸，源自於英語extra：額外的），E軸與其它三個軸也是兩兩互相垂。為了更直觀地展示四維坐標系的面貌，我們再從不同的角度觀察一下它，可得到圖（一）：

圖（一）是從四維坐標系4個坐標軸都為正的空間區間，迎面看上去的感覺，當然這四個坐標軸都是兩兩相互垂直的。這裡要與二維坐標系的兩條相互垂直的直線相區別，不僅X軸與Y軸、E軸相互垂直，它與Z軸也相互垂直；Y軸不僅與X軸、Z軸相互垂直，與E軸也相互垂直。這四條坐標軸是兩兩相互垂直的，因此看它要有些立體的感覺。從它的側背面看，如圖（二）。

上面是從四維坐標系一個空間區域看過去的感覺，那麼四維坐標系整體上看上去如何呢？如圖（三）：

第四維坐標軸E軸垂直於其它三個坐標軸，我們可以稱之為E軸垂直於由X、Y、Z軸確定的三維空間。當然，在三維空間內，你是找不到這樣的坐標軸，它只存在於四維空間以上。雖然，這個四維空間坐標系比三維坐標系只多加了一條坐標軸，看上去很簡單，其實別小看這條坐標軸，它使整個四維空間變得比三維空間複雜了很多。

上面的圖形雖然比較直觀，但還不能全面反映四維空間坐標系各空間區域的情況，為了進一步說明，我們參照三維坐標系的畫法，畫出四維坐標系的關係：

上圖，我們將X、Y、Z軸組成的三維空間進行了一些壓縮和變形，使得四維空間坐標系得以顯現。

下面，讓我們分析一下這個坐標系。我們都知道二維坐標系有4個象限，三維坐標系有8個卦限。三維坐標系中，第三維Z軸正軸方向與二維坐標系4個象限構成4個卦限，負軸方向與二維坐標系4個象限構成4個卦限，所以總共有8個卦限。同理，四維坐標軸E軸，正軸方向與三維坐標系8個卦限分別構成8個四維空間區域；E軸的負軸方向與三維坐標系8個卦限又分別構成8個四維空間區域，所以四維坐標系內總共有16個四維空間區域。

就像三維空間坐標系卦限由C32＝3個二維面相互垂直圍成的一樣（如圖），

三維卦限的情況

四維空間坐標軸圍成的空間區域（我們姑且稱之為四維「超限」），由C43＝4個三維空間立方體互相垂直圍成。由於在三維空間內立方體相互垂直無法描畫，所以讀者可以根據圖（三），在頭腦中進行大體想像。

四維坐標系坐標軸圍成的四維超限中，有1個4個坐標軸都為正的四維超限；1個4個坐標軸都為負的四維超限；3個正軸和1個負軸構成的四維超限有C43個即4個；1個正軸和3個負軸構成的四維超限有C41個，也是4個；2個正軸與2個負軸構成的四維超限有C42個，即6個；加起來正好是16個區域，與上面推理的結果相同。

四維坐標系畢竟有些抽象，下面我們用比較直觀的四維空間體進行說明。為了方便大家理解，我們從低維向高維逐漸過渡。

我們先來看一下從一維空間到二維空間的過渡。

一維到二維情況

如圖所示一條一維的線段ab,沿著與其垂直的方向拉伸到達一個新的位置a』b』，所滑過的空間和原位置及新位置的兩條線段就圍成了一個二維的長方形aa』bb』。

如果一個在二維平面中的長方形，沿著與其垂直的方向拉伸一定的向量，所圍成的封閉空間就構成了一個長方體，如圖：

二維到三維

依此類推，我們看一下一個三維長方體，沿著與此長方體六個面都垂直的方向（假設存在這樣一個方向，當然在三維空間內是不存在的，只能在四維以上空間存在。這裡其實也不是垂直於6個面，只是垂直於共頂角的3個面，因為其它3個面與之平行）拉伸一定的向量，看看所圍成的空間會是怎樣的，如圖：

三維到四維

（上圖為示意圖。此圖在現實的三維空間內是無法構劃出來的，它利用了人們的一些視覺偏差，這裡只是給大家一個想像的對象。）

我們來分析一下這個四維空間體：

1、它一共包含了8個長方體，（長方體S1的6個面分別拉伸出6個長方體，加上原來的長方體本身，以及位移後的長方體，共8個長方體）。

2、這8個長方體對應兩兩相互平行（我們暫且把兩個形狀相同，方向相同，中間有一定位移的長方體稱作是相互平行），即長方體S1與長方體S2平行，它倆之間的距離，就是向E維度移動的距離；6個面拉伸出的長方體也是對應平行，它們之間的距離是S1立方體長寬高確定的。

3、它共有24個面，長方體S1的12條稜分別拉伸出12個面，加上位移前、位移後的S1、S2兩個長方體的12個面，共24個面；

4、拉伸出的6個長方體從圖中看，似乎有的相互交叉，但在四維空間內它們只與長方體S1和S2相接，其它部分並不會交叉（而是兩兩平行的）；

5、這個四維空間體內部是有空間的，如果沿著E軸的方向看，它內部的空間剛好容得下S1這個長方體通過。而這個四維空間體實際上就是由這8個立方體以及它們包圍的空間構成的。

6、這個四維空間體一共有16個頂點（原始立方體S1有8個頂點，加上位移後立方體要S2有8個頂點）；32條稜（S1和S2共有24條稜，8個頂點又分別拉伸出8條稜）。

我們都知道，投影是降維度觀察分析的好方法。下面，我們再採取投影的方法來研究一下超立方體。我們先從立方體在二維平面投影開始：

立方體二維平面投影

如圖所示，這是一個立方體的正面投影。我們知道，在三維空間裡，中間的小正方形其實與外面的大正方形一樣大，只是三維的景深使其在二維空間裡看上去縮小了。

再看一下，四維超立方體在三維空間的投影：

四維超立方體在三維空間投影

這是一個超立方體的的在三維空間裡的正面投影。在四維空間裡，中間的小立方體與外面的大立方休一樣大，只是第四維度景深使其在三維空間裡看上去縮小了，這其實是在第四維度上延伸的結果。中間小立方體周圍的6個稜台，也是投影使其變形，在四維空間裡，它們也是與內外立方體大小一致的立方體。從圖上我們可以直觀地看出一些四維超立方體的空間關係。

下面，再給出超立方體在二維空間的正投影，如下圖。關於它的構造和特徵，大家可以參照百度詞條「超正方體」，這裡提供給大家直觀感受一下，從中我們不難看出有8個立方體構成，關係錯綜複雜。

超立方體在二維空間的正投影

可能大家感覺，還是難以理解，那麼我們以四維正方體為例，看一下在三維空間的展開圖：

首先，我們看一下立方體在二維平面的展開圖，如圖是其中比較簡單直觀的一種方式：

立方體在二維平面的展開圖

同理，我們看一下四維超立方體在三維空間的展開圖：

四維超立方體在三維空間的展開圖

從上圖可以清楚地看到，四維超立方體，共有8個三維立方體構成（外圍有7個，中間遮擋部分還有1個）。通過展開圖，我們可以進一步加深對四維超立方體的了解。

下面，我們再簡單地構劃一下正稜椎的演變：

正稜椎在不同維度的演變

如上圖，一個三角形，再加一個與三角形頂點不共線的點便可連接出一個三稜椎。三稜椎再加上與其頂點不共線的一個點就可以確定一個立體圖形。

直觀一看，這不是三維空間的四稜椎嗎？其實沒那麼簡單，我們熟悉三維歐式空間，所以即使看到四維的透視圖，還是很簡單地將其想像為三維圖形。我們需要對其進行簡單的立體處理，順便讓這個圖形在四維空間中旋轉一下，我們來欣賞一下它在三維空間中旋轉的姿態。

四維椎體在三維空間的不同角度

這個，便是最簡單的四維空間形體——單純形（Simplex），又稱五胞體。

四維空間的正多邊形不難刻畫，大家可以看看數學科普視頻《維度·數學漫步》，裡面有一些直觀的介紹。可是四維空間超球體怎麼刻畫。就如在二維空間裡，一個圓形，你怎麼想像，也想像不出三維球體的感覺。四維空間超球體，我們也很難想像。在百度百科「超正方體」詞條中：將一個立方體的各個表面膨脹，一段時間後會得到一個球；同樣的方法，將超正方體的表面膨脹，會得到一個「超球」。如圖：

百度給出的超球

立方體的二維投影

我認為不妥，如果你將一個立方體二維投影，如上圖，每個邊都膨脹，能得到一個球嗎？顯然不能，所以四維超立方體在三維投影，各個面膨脹，還是得到一個三維球體。因此，對於四維球體，需要我們重新進行思考設計。

像三維球體至少要C32個，即3個圓形構成一個球的框架一樣（如下圖），四維球體至少需要C43個即4個三維球體，構成一個框架。即如上圖（四）中，E、X、Y三個軸內的一個球，與E、X、Z三個軸內的一個球，與E、Y、Z三個軸內的一個球，與Z、X、Y三個軸內的一個球，四個球相互垂直構成一個四維超球體的框架，四個球圍成的整個空間，表面填充後，便構成了一個四維超球體（像二維空間內兩個圓形互相垂直無法刻畫一樣，在三維空間內球體與球體互相垂直也無法刻畫。但就像在三維空間內，三個圓形能夠互相垂直一樣，四維空間內四個球體也可以相互垂直）。

三維球體由3個相互垂直的圓形搭建而成

我們再來討論一下空間的包容度問題，為什麼討論這個問題，因為這牽扯到空間的膨脹。我們都知道圓的周長為2πR，除以半徑R，便可得圓周角為2π；球的表面積為4πR2，除以半徑的平方，便得球心角為4π；由此，我們可以估計四維空間比三維空間又膨脹了一倍（我認為是按幾何級數增加），超球體所包含的角度可能為16π（因為超球的表面積我們還無法進行計算，這只是個推斷），這樣大的空間包容度，顯得能容納更多東西，能夠構建更複雜的幾何關係，當然如果存在四維空間物體，其質量肯定要比三維物體大的多。

討論到這，大家對四維空間大體有了一定的直觀印象，雖然四維空間只比三維空間增加了一個坐標維度，但隨著這個維度的增加，空間結構變得成倍複雜，一些幾何定理也要隨之改變。比如歐式幾何定理中：「垂直於同一個平面的兩條直線平行」。在四維空間裡垂直於同一個平面的兩條直線還可以垂直。比如推論命題：「經過空間任意一點作已知直線的垂面有且只有一個」。在四維空間裡經過空間任意一點作已知直線的垂面至少有三個，而且還可以相互垂直（應該說，在四維空間內，經過空間任意一點作已知直線的垂面有無數個，因為第四維坐標軸垂直於整個三維空間，三維空間內所有的平面都與第四維坐標軸垂直）。此外，四維圖像與三元函數極其複雜的對應關係，等等，都需要加以研究。因此，像平面幾何與立體幾何的區別一樣，必須建立超立體幾何。今後，所有幾何的公理定理必須註明在幾維空間內成立。由上我們可以看出，在四維空間裡幾何學被大幅度改變了，需要推導和定義一些新的公理和定理，並在此基礎之上，構建超立體幾何學的大廈。

了解了四維空間，那麼五維以上空間就好理解了，五維空間坐標系就是有5條兩兩互相垂直的坐標軸構成，六維空間坐標系就是有6條兩兩互相垂直的坐標軸構成。依此類推，我們可以推廣到n維空間。n有沒有限度，這個還無從得知，但隨著維度的增加，空間關係將成倍地變得複雜，當n足夠大時，空間關係可能會變成無法推算的混沌狀態。當然，根據現代物理學的超弦理論，可能存在10個維度的純幾何空間。

正如二維空間裡，一維空間是不存在的一樣，因為再細的直線也有一定的寬度；三維空間裡二維空間是不存在的，再薄的紙片也有一度的厚度，電視機屏幕可近似地看作一個二維空間，但它只是虛像，而不是一個實體。同樣，在四維空間內，三維空間體也是虛幻的，因為第四維度為無限小（如果三維物體進入四維空間，就會強制性地拉伸出第四維度）。依此類推，四維空間體在五維空間裡也是虛幻的，因為第五維度為無限小，這樣就像「套娃」一樣，層層嵌套（也許，我們現實生活的三維空間就鑲嵌在一個四維空間裡）。與此同時，在四維空間裡，至少包括C43個即4個正向的三維空間，這又給平行宇宙之說，提供了思路。因此，研究超三維空間，有利於在哲學上加深對宇宙的認知。

當然，四維以上空間在超弦理論上，有著廣泛的應用。超弦理論中，四維以上空間可能捲曲在「卡拉比—丘」空間內。目前我們的研究水平還探測不到，它的半徑小於億億億億分之一米，只有質子和中子半徑的億萬分之一。我個人認為，就像二維空間內看三維空間只有極其微薄的厚度一樣，三維空間看四維空間，就捲曲在極其微小的「卡拉比－丘」空間內，因為畢竟在三維空間內第四維度無限小。我想像，所謂宇宙的暗物質、暗能量就捲曲在四維空間裡，因為四維空間的物體質量肯定要比三維空間物體大的多。如果未來，我們科技手段水平進步了，或許就可以進入到四維空間去一探究竟，這樣超立體空間幾何學就大有用武之地了。作為一門亟待研究的新興學科，四維及以上空間還有很多未解之謎，我相信通過對它的進一步研究，必將會改變人們對現有幾何學的認知，從而改變空間幾何學的發展走向。

另一方面，為什麼要研究超立體幾何呢？因為，在三維空間內，我們只能看到物體朝向眼睛的一面，背向眼睛的一面卻無法看到；而在四維空間內，我們可以看到三維物體的上下左右前後的全貌，並且連內部結構也能一覽無餘，對物體的認知將更加全面。同時，我們可以看到，隨著空間維度的增加，空間幾何結構將變得更加複雜，如果宇宙中真存在生活在四維空間以上的生物，它們對事物認知將更加複雜，頭腦將更加發達，並且就像二維空間能夠輕鬆地將一維空間前後翻轉、三維空間能夠輕鬆地將二維空間上下翻轉一樣，四維空間能夠輕鬆地將三維空間整體翻轉。因此，如果我們不對四維及其以上空間加以研究，必將會處於宇宙競爭的劣勢。

（受作圖工具限制，文中圖片均為示意圖。文中許多觀點，僅是個人思考結果，並不一定對，謹供大家參考。）

參考文獻：

百度詞條：四維空間；超正方體；

知乎：如何想像四維空間和四維圖形。