二次函數與相似三角形是初中數學兩大難點，那麼強強聯手，二次函數中的相似三角形存在性問題會不會更難呢？其實，只要你掌握了方法，二次函數中相似三角形的存在性問題反而沒有想像中的難。一般在二次函數中的相似三角形存在性問題，常考的三角形是直角三角形，這樣就把難度下降了不少，兩個三角形已知一個角是直角，只需要滿足將直角夾起來的兩條邊的比相等即可得到兩個三角形相似，處理時也可以利用三角函數來解決，可能會涉及到直角三角形的存在性問題。
如圖，已知直線y＝x＋3與x軸和y軸分別交於點E和點C，拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C，拋物線的頂點D在直線CE上，且與x軸交於A、B兩點(點A在點B右側)，拋物線的對稱軸為直線x＝1.
(1)求拋物線的解析式；
(2)在x軸上是否存在點Q，使得△QED與△EOC相似，若存在，求點Q的坐標；
(3)設拋物線的對稱軸與x軸交於點G，點M在對稱軸上，若△MAG與△OBC相似，求點M的坐標；
(4)在坐標軸上找一點R，使以點B、C、R為頂點的三角形與△ACD相似，直接寫出點R的坐標．
第1問求拋物線的解析式，已知拋物線的對稱軸，可以選擇頂點式，頂點D在直線上，先求出頂點D的坐標，然後利用頂點式設拋物線方程，代入點C即可求出拋物線的解析式，最後通過頂點式轉化為一般式即可。
第2問要使得△QED與△EOC相似，我們可以先確定下已知三角形的特徵，再去討論未知三角形。△EOC是已知三角形，可以發現，這個三角形是等腰直角三角形，那麼△QED與其相似，說明也是一個等腰直角三角形，那麼本題可以轉化為等腰三角形的存在性問題來解。
點Q在x軸上且是等腰直角三角形，本來應該有三種情況，此題應該分兩種情況討論，∠QEC不可能為直角。（1）當∠QDE=90°時，過點D作DQ⊥DE與x軸的交點即為點Q；（2）當∠DQE=90°時，過點D作x軸的垂線即可。
第3問與第2問類似，先研究已知的△OBC，△OBC為直角三角形，並且兩條直角邊分別為1和3，那麼△MAG要與之相似，說明應該也要是直角三角形，並且將直角夾起來的兩條邊的比要麼是1：3，要麼是3：1，應該分兩種情況進行討論。先求出x軸上方的兩種情況，x軸下方的兩種情況利用對稱性即可得到。
最後一問不清楚△ACD到底是什麼三角形，因此我們要先研究下△ACD的形狀，可以利用距離公式先求出三邊的平方，然後利用勾股定理逆定理判定此三角形為直角三角形，並且將直角夾起來的兩條直角邊的比值1：3，所以本題可以當作直角三角形的存在性問題進行求解。
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