一部《流浪地球》讓許多人知道了引力彈弓和洛希極限，但大多數人是知其然不知其所以然的，所以今天我們來補補課，複習一下什麼是引力彈弓，以及它到底能幹些啥。
彈弓是個好玩的東西，我們小時候都玩過，拿來打麻雀，有時也打人。可惜現在的孩子們是極少有機會玩了，因為易傷人、有危險性，不許玩。彈弓的製作可繁可簡，拾一截樹杈兒在兩頭綁上橡皮筋就是一把彈弓，可以用來彈射廢紙片折成的「子彈」；而那些用粗鐵絲製作，並且中間配有皮兜的彈弓自然是「土豪級」的，必然會收穫小夥伴羨慕的眼神和很長的口水。
當然，本文中說的彈弓與孩子們的玩具不是一回事，畢竟你不可能用橡皮筋將衛星或別的什麼太空飛行器發射到太空中去，只是它們在力學上存在某些近似，所以被形象化地稱為「引力彈弓」。其實在天體力學裡它有一個標準名稱叫「重力輔助」。
航天發射是力的科學
當我們要向另一顆星球發射太空飛行器，通常有兩種方法：一種是使用蠻力，用大推力的火箭和大量的燃料把太空飛行器直接推上去；另一種辦法是使用「巧力」，充分利用每一個星球對太空飛行器的萬有引力，包括重力輔助作用來為太空飛行器加速。
儘管馬斯克說火箭的燃料很便宜，但火箭發動機的推力畢竟是有限的，你攜帶的燃料越多就需要越強大的發動機，同時為了多攜帶1噸燃料上天你需要燃燒100噸燃料，建造更大的火箭意味著額外增加更多重量和燒更多的錢，這是一個死循環。因此單靠蠻力發射火箭是行不通的，我們還需要充分利用力學原理來使「巧力」。
在航天發射時，火箭升空後通常會向東轉彎。這是因為地球自轉方向是自西向東旋轉，同時地球繞太陽運行的方向也是自西向東，當火箭向東轉彎時，它可以從地球獲得約30千米/秒的額外速度。這是地球赤道表面自轉線速度（0.466千米/秒）與地球繞太陽公轉速度（29.78千米/秒）的和。
我們知道當一枚火箭的速度大於11.2千米/秒時，它可以逃離地球，這被稱為第二宇宙速度。但第二宇宙速度並不足夠讓火箭飛得很遠，因為太陽的引力十分巨大，火箭需要達到16.7千米/秒（第三宇宙速度），它與地球的速度疊加才能從地球逃離太陽。
太空飛行器在太空向外飛行時，由於受太陽引力的影響，它的速度會不斷下降，最後還是要被太陽拉回來，這就需要太空飛行器不斷加速來加以擺脫。前邊說了，太空飛行器攜帶的燃料有限，我們需要它從外部「借力」，這就是接下來要談的重力輔助。
彈性碰撞的力與速度關係
為了使複雜的概念更加容易理解，我們先來舉個例子。假設一個熊孩子在鐵路邊向一輛高速駛來的列車車頭扔皮球，結果會怎麼樣？有驚無險，皮球撞到列車後會反彈回來。這在力學上被稱為彈性碰撞。
皮球反彈回來的速度會是多少？這是一個有意思的問題：
假設熊孩子扔出皮球的速度是30千米/小時，火車從對面駛來的速度是50千米/小時，火車司機看到皮球飛來的速度是多少？沒錯，80千米/小時，這是皮球相對於火車的運動速度。
而當火車撞擊皮球時，它會將皮球反彈出去，火車司機看到皮球的反彈速度是80千米每小時（這是它撞擊火車的速度）；
同時火車向前的速度是50千米/小時，火車將自己的動量傳給了皮球，使皮球加速，這時候反彈回來的皮球相對於地面的速度是130千米/小時。
彈性碰撞與二者的速度以及質量有關係，很顯然，你向一個騎自行車的人踢足球的效果會很不一樣。
當然，朝火車扔任何東西都是犯法的。我們還可以從身邊找到許多類似的彈性碰撞的例子，比如我們打球的時候，球與球拍之間就是彈性碰撞，球拍將動能傳遞給球，使它變向並加速。
重力輔助的實際應用
說起引力彈弓，可能是聯想到孩子們彈弓的緣故，有些人喜歡用下面的圖來表示。這張圖看起來沒問題，實際上它是違背了力學原理的。
事實上，根據牛頓理論，在正確的重力輔助應用中，太空飛行器的運行軌跡往往是一條雙曲線軌道，其軌道偏心率需要大於1，否則太空飛行器便不能逃脫行星引力，引力彈弓變成了重力陷阱。
太空飛行器在太空中不能利用彈性碰撞來加速，它會墜毀在行星表面上，所以太空飛行器利用的是行星萬有引力來實現加速或者改變運動軌道。
為了獲得飛出太陽系的最大動能，旅行者1號先後利用了木星與土星的引力來進行彈弓操作，從而獲得了完全擺脫太陽引力的能量。
旅行者2號先後利用木星、土星和天王星來進行重力加速，但為了觀測海王星最大的衛星泰坦，它選擇越過海王星的北極。這使得旅行者2號獲得了黃道平面外的加速度，同時使它與太陽的相對速度下降。
下圖是旅行者2號在經歷4次引力彈弓後，相對於太陽的速度變化曲線。
細心的你也許發現，在上面旅行者2號的速度變化曲線中，每一次重力加速之後，太空飛行器都會出現大幅度的減速現象。這是為什麼呢？
這是因為當太空飛行器接近行星時，受行星引力的影響，太空飛行器會加速；而當它飛越之後，行星的重力勢阱反過來會牽引太空飛行器，使其很快減速。在太空飛行器終於擺脫行星引力場時，太陽的引力會作用於太空飛行器，令它的速度一點點地慢下來。這就是為什麼旅行者2號在海王星附近一度達到29千米/秒，現在相對於太陽的速度卻只有不到15千米/秒的原因。
為了獲得更大的逃離速度，太空飛行器需要啟動它的推進器。根據Oberth效應，太空飛行器在較高速度下使用發動機會比在較低速度下使用產生更大的機械能，也就是說，當太空飛行器在它最接近行星的地方開啟加力，可以更有效率地提高飛行速度。當然了，這同時需要太空飛行器擁有大推力的火箭發動機，像最新的電推發動機是沒有用處的，它們的推力太小，需要很長的時間才能一點一點地把速度加上去。
軌道選擇是重力輔助的決定性因素
行星繞太陽公轉，它在公轉軌道上有一個向前的速度。這就好比熊孩子向火車扔皮球，當火車停止時，皮球反彈回來的速度就是他扔出去的速度，而當火車快速迎面而來，皮球的反彈速度要快得多。
太空飛行器利用行星進行軌道加速也是利用了同樣的原理，它需要以一定的角度進入行星的引力範圍才能很好地利用行星的重力進行彈弓彈射。這涉及非常複雜的計算，我們將其用下面的動畫圖片形象化地表現出來：
在上面的動圖中，黑點代表行星的運動軌跡，藍色點代表太空飛行器。為了獲得最大的引力加速度：
首先需要在正確地時間以合適的角度與行星相遇；其次，從後方接近行星；第三，太空飛行器需要與行星儘量接近以獲得更大動能；第四，不能過於接近行星，否則太空飛行器會墜毀在行星上、受行星大氣阻擋而減速，或者被行星的潮汐力扯成碎片。最後，永遠不要試圖依靠太陽來做引力彈弓，因為在太陽系裡太陽是靜止的，你只會改變方向而不會有任何加速（如上圖e），離得太近了還會燒毀。引力彈弓只能用於加速嗎？
並不是。
在太陽系內部，太陽不能加速太空飛行器。並且當你繞前接近行星，或者迎著行星運行軌道接近行星時，太空飛行器的速度會迅速下降甚至調頭運動（如上圖d和g）。
1990年，NASA發射了ESA宇宙飛船尤利西斯（Ulysses），用它來研究太陽的極地地區。為了進入越過太陽兩極的極地軌道，太空飛行器必須消除它從地球圍繞太陽繞行的軌道繼承的30千米/秒的速度，並獲得使太陽在兩極之間繞軌道運行所需的速度。這單靠火箭的推進系統是不可能做到的。科學家們想到了利用木星做引力彈弓，最終成功將尤利西斯送入了垂直於黃道面的環太陽極地軌道。
總結：
引力彈弓是重力輔助效應的形象化提法，它的目的是利用行星引力改變太空飛行器的速度和運行軌跡，從而完成相應的科學任務。
引力彈弓在星際探索過程中被廣泛運用，一方面人們可以通過科學的計算節省燃料和航天發射費用，同時也可以用儘量小的火箭將儘量大的太空飛行器送到其它星球。比如說印度就是利用地球的重力作用一點點地加速他們的太空飛行器，並最後將「月船2號」送上了月球軌道。
引力彈弓的有效實施取決於極其精確的測量和周密計算，失之毫釐必將謬以千萬裡，最後連太空飛行器的影子都找不著。