8'差異引起的革新  ——克卜勒與克卜勒三定律

圖1 克卜勒像

人們說，從16世紀開始的近代科學革命中，有三本偉大的著作在整個科學史上閃著燦爛的光輝。第一本是1543年，哥白尼出版了他的著作《天體運行論》，從而打破一千多年的託勒密的地心說的統治奠定了日心說的基礎。第二本是伽利略1632年出版的《關於託勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》從理論上捍衛了日心說，並且提出了慣性定律等一系列現代物理的原則。第三本就是1687年出版的牛頓的著作《自然哲學的數學原理》把整個天體運行和宇宙中的運動納入了力學規律的範圍內。

在從哥白尼伽利略到牛頓之間的認識的飛躍上，我們不得不提到的一位貢獻卓著的天文學家克卜勒。由於他總結的關於行星運動的三定律，才突破了行星軌道是圓形的思想約束，才有天體力學和動力學的飛躍。

在哥白尼和伽利略之後，日心說雖然逐漸為人們接受。不過不論是地心說還是日心說，都認為行星都是沿著圓形軌道運行，或是沿著若干圓形軌道（本輪、均輪）作複合運動的。由於觀察的精密，這種基於行星做圓運動的理論結果與觀察數據之間的誤差越來越大，於是這種複合的圓便愈多。再加上這些圓可以是偏心的，所以經過不斷修正，這種複合的圓愈多同實際觀測的誤差便愈小，其誤差甚至可以說還是相當精確的。但是由於圓用的愈多，太陽系的圖像便愈來愈複雜。

最早打破行星的運動軌道是圓的限制的是德國天文學家克卜勒（Johannes Kepler, 1571－1630）。他經過長達9年的推算，並且不放過8分的誤差，終於得出一切行星繞太陽運動軌道是橢圓，太陽位於一個焦點上的結論。這便是著名的克卜勒第一定律。而這個定律實際上是克卜勒的老師第谷（Tycho Brahe,1546－1601）與他本人經過兩代人的觀察、計算，積數十年辛苦的結晶。

圖2 弟谷像

第谷是丹麥人，從小喜歡鑽研天文。1576年，在丹麥王腓特列二世資助下，第谷得以在汶島建立一座頗具規模的天文臺。第谷在這座天文臺觀察了21個年頭，直到1597年腓特列王故去，他失去了資助。這段觀察他積累了極為寶貴的觀測資料和數據。1599年他受聘到布拉格任奧國御前天文學家。次年，1600年，克卜勒來到布拉格任第谷的助手。

第谷終身辛勤觀測，有很高的精度，而對理論卻不擅長。日心說在當時已經流行，但他卻還沒有接受，而為地心說修修改改。克卜勒呢，他小時得過天花，而且從小視力不好，沒法進行精密的觀測，但卻善於理論推理。恰好1601年，第谷撒手人寰，臨終前他將全部資料與數據，特別是有關火星的觀測數據交給克卜勒。克卜勒便對這批珍貴的資料進行加工。

與第谷不同，克卜勒是日心說的熱心擁護者。克卜勒首先注意在第谷的數據中關於火星的資料。

早在哥白尼以前，人們就曾注意到當太陽、地球、火星處於一直線上，太陽、火星在地球的兩側這種情形，稱為&34;。這可以從太陽、火星與其它星球的視角度間接推算，當從地球上看，太陽與火星的夾角為180度 時就是&34;。人們早就注意到，每過780日火星&34;一次。哥白尼從這個數字經過推理，算出了火星繞太陽的實際周期 為687日。事實上，地球在780日中繞太陽走過了2周又49度 ，而火星走過了1周又49度 ，即總共走過了409度 ，通過簡單的比例計算可得 T=360*480/409=687（日）。

在第谷20多年不間斷的觀測火星記錄中，克卜勒找到了12次&34;的記載。就是說在這期間第谷抓住了每一次&34;。

利用第谷關於火星&34;的這些數據克卜勒首先來計算地球的軌道。他從一次&34;開始，當過了687日，火星繞太陽回到了原處而地球繞太陽走了差43天不到2周。如圖3，43天對應於fai角，令S表太陽，E 表地球，M表火星，這時的角SEM 可以在當時實測太陽和火星的夾角得到。設從太陽到火星的距離SM為1，便可以從簡單的三角學知識算出從太陽到地球的距離 。

同樣再過687天，地球的位置在E 2又可以由觀測得到角度SE2M 的值，從而可以算出地球到太陽的距離SE2 。如此下去可以得到一串E3，E4，E5，等 地球的位置，由此就可以把地球的軌道畫出來。克卜勒發現地球的軌道是一個圓，而太陽卻不在圓心。據他計算，太陽距圓心大約為半徑的1/59，約為半徑的0.017倍。克卜勒還注意到地球運動的速度是不均勻的，在近日點比遠日點要快。

克卜勒接著去推算火星的軌道。很自然地他認為火星的軌道也是一個偏心圓，但太陽的偏心在什麼方向偏心距有多大需要推算。為此，他從第谷的12組&34;的記錄中選擇了4組，即軌道圓上的4點來推算太陽的位置。在當時，這是一項十分複雜的計算工作。他先假定一個太陽的位置，然後計算，反覆調整。大約進行了70次計算，費了近4年的時間。終於定下一個比較滿意的偏心圓軌道。

但是，這個軌道雖然與選定的4次&34;複合很好，對於另外8次&34;卻有誤差。這個誤差大約是8分角度，這是一個不大的誤差。 是一個圓周角的8/（360 x 60）＝1/2700。不過，克卜勒認為這仍然是一個不能允許的誤差，他心裡很清楚，第谷的實測誤差絕對不會超過2分 。

克卜勒為了追求更高的精度，終於不得不打破火星軌道是偏心圓的框框。他試驗了多種圓和類似卵圓的曲線。最後他才試驗橢圓軌道。結果12次&34;都符合得非常好。他最後推求火星實際軌道的方法，可表為如圖4。令M1，M2，M3 ，分別是火星衝的位置，E1，E2，E3等 是衝後過687天地球的位置，這時火星仍在原來的位置上。因為太陽到地球的距離 是已知的。角度 也是已知的，而這些角可由實測數據給出，所以可由三角形 算出從太陽到火星的各個距離 的長度。12次衝的數據表明 在橢圓上，而太陽是橢圓的一個焦點。這就是克卜勒第一定律。

由於克卜勒三定律與行星運動的觀測驚人地符合，並且按照這些定律預測行星位置也分秒不差。所以後人把克卜勒譽為&34;。

應當指出，要衝破天體運動是圓運動的思維定式是不容易的。早在公元前4世紀，古希臘的學者亞裡斯多德（Aristotle,384BC－322BC）總結當時關於運動規律的認識時，認為位移運動最基本的運動形態是&34;。他說：&34;而且他還說：&34;&34;&34;於是天體運動是作圓形運動的觀念便牢固地樹立起來了。在克卜勒之前，沒有一個人能夠突破這個框框。託勒密沒有，哥白尼也沒有，他們都認為天體運動是沿著圓運動或者是圓的複合運動。

據考證，克卜勒曾經把自己的研究結果寫信告訴過伽利略，並且考慮到當時在歐洲主張和宣傳日心說的是少數人，他對伽利略堅持日心說的鬥爭給以熱情的支持。克卜勒在寫給伽利略的信中說：&34;然而伽利略在回信中卻沒有對克卜勒的行星橢圓軌道的結果給以支持。這說明伽利略也沒有突破行星圓運動的框框。這種謎一樣的現象，只能說明在當時，伽利略雖然在宣傳日心說方面是一位離經叛道者，但是在關於行星運動軌道方面仍然是一位循規蹈矩的學者。而克卜勒卻是一位在主張日心說和行星軌道上都是一位離經叛道者。

自古聖賢皆寂寞，克卜勒關於行星軌道的橢圓性的結論，是在沒有人理解和支持下，經過艱辛的計算得來的。他在計算火星軌道上就花費了多年的時間。終於在計算結果的事實面前才突破了行星圓軌道的框框。

克卜勒在推算地球與火星的軌道同時，還發現了所謂克卜勒第二定律，即從太陽到行星的矢徑在相等的時間內掃過相等的面積。之後他還發現了第三定律，即各個行星運動周期的平方與各自離太陽的平均距離的立方成正比。這三個定律合稱為克卜勒關於行星運動的三定律。這三條定律，都收在他1619年出版的專著《宇宙的和諧》中。由於這些定律的重要性，克卜勒被人們稱為天體運動的立法者。

有了克卜勒三定律與伽利略關於落體加速度規律。萬有引力定律與質點運動的力學原理的建立便是呼之欲出的事了。所以我們也可以說克卜勒所沒有放過的8分誤差，在力學發展史上起了多麼大的作用啊！整個自然科學的發展史說明，沒有一絲不苟就沒有科學。

在人類歷史上關於太陽系的各種圖像中，誠然，只要引進足夠多的圓，託勒密的地心說也是能夠足夠準確地描述行星的運動，不過到哥白尼時代，太陽系的本輪已經多達80多個。所以哥白尼慨嘆地說：&34;所以哥白尼拋棄了地心說，日心說不用任何本輪就可以準確地描述行星的運動，所以也就同時拋棄了所有的本輪。

但隨著時間的推移，人們的觀測更精密了。按照日心說的圓軌道理論，也暴露出不可忽略的誤差，這就是第谷的觀測與哥白尼的太陽系的圖像的矛盾。這時，為了彌合這種誤差，有兩種辦法，一種是再添加本輪，另一種就是打破行星的圓軌道的約束。大膽提出橢圓軌道的新思想。克卜勒用自己的實踐，開闢了後面一條新思路。這，也是一條構建太陽系圖像的最簡捷的道路。它無需任何本輪，只要讓所有的行星按照橢圓軌道運行就夠了。真理是簡單樸素的。

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