運用克卜勒行星運動三定律和牛頓運動第二定律推導萬有引力定律

2021-02-08 數林筆談

首先, 回顧一下我們之前使用萬有引力定律和牛頓運動第二定律證明[1]了二體問題中行星以恆星為焦點繞恆星沿著橢圓軌道運行, 此即克卜勒行星運動第一定律. ——第二定律, 第三定律, 也可以證明 (雖然也比較短, 但是偶最近實在沒有太多多餘的時間; 看以後啦!——其實, 相關證明, 讀者完全可以從本篇中悟出來; 您不妨嘗試一下).

其次, 吐槽一下微信的「原創聲明」——敲了好幾頁數學公式竟然不算?!——因為符號不算, 純文字不夠300字!!順道我們也聲明一下, 我們的文章都是原創的 (自己構思自己碼的), 如果引用別人, 一般我們都會進行說明 (——這樣聲明, 好無聊).

最後, 進入正題!!——運用克卜勒行星運動三定律和牛頓運動第二定律推導萬有引力定律!

設行星軌道坐標是 克卜勒行星運動第一定律), 我們有

並且我們知道 

克卜勒行星運動第二定律又告訴我們

這裡 

即 

其中最後一步我們運用了牛頓運動第二定律 

以及

這樣, 力的方向確定了!!

下來只需求力的大小: 橢圓軌道

的近恆星長軸方向 (即極軸方向) 的單位向量為 

兩邊關於時間求導, 得

遂有

類似於我們昨天那一期文章[2]得到的向量函數求導分解公式 (區別在於: 其中的第一項係數不展開;其實展開也行, 只不過那樣在後續推理步驟上會有一些小小的不同), 我們有

以及

再對其首尾兩邊關於時間求導 (下式第二個等號), 不難發現

其中第一個等號我們用到了前面對 

第三個等號引用了

消去公因子 

克卜勒行星運動第三定律告訴我們

這裡 

不妨設 

由克卜勒行星運動第二定律 (和第三定律) 知

因此我們推導出了萬有引力定律:

注 本文摘自歌者的筆記《為三七六九》。齊民友先生的《重溫微積分》一書中相關章節對本文形成具有很大的啟發借鑑作用，謹表致謝！！

參考資料[1]

證明地球繞著太陽沿著橢圓軌道運行: https://mp.weixin.qq.com/s/Lo_U5468vDwr7dkL0gLCww

[2]

三維向量函數求導的一個漂亮分解: https://mp.weixin.qq.com/s/LcOsrU1IEVkiGO2Miqr-LA

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