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1609年至1619年間，約翰內斯·克卜勒利用第谷·布拉赫收集的數據推斷出了決定行星圍繞太陽運動的定律：
每一顆行星都圍繞著太陽的一個焦點在橢圓軌道上運行。行星在它的軌道上運行，從太陽到行星的一條線將在相同的時間內掃過相同的區域（面積相同）。軌道周期的平方與橢圓軌道半長軸的長度成正比。為了紀念他，這三個定律被命名為克卜勒定律。
這對當時的天文學家來說是一個驚喜，因為哥白尼模型中行星遵循完美的圓形軌道仍然被廣泛相信。天文學和物理學之間的聯繫還沒有建立起來，所以出於神秘和精神上的原因，人們認為行星軌道應該是圓的，因為圓被認為是完美的形狀，而天空是神聖完美的領域。這個解釋出現在1687年，當時艾薩克·牛頓出版了他的著名著作《自然哲學的數學原理》，這本書和其他許多偉大的發現一起，通過使用他的力和加速度理論推導出數學上的克卜勒定律，將天文學和物理學聯繫了起來。
儘管《自然哲學的數學原理》值得一讀，但它對於現代讀者而言可能是一本非常難理解的書，因為它是在許多重要思想（例如矢量分析，函數的概念，微分方程的理論，甚至很少使用解析幾何（在牛頓時代就已知道），並且只有在使用時才間接使用。因此，本文將以現代化的形式介紹牛頓的證明。
運動方程
我們將從控制行星運動的方程中推導出克卜勒定律。我們從牛頓第二定律F=ma開始。力是：
在這個方程，G是萬有引力常數，M是太陽質量的，m是軌道行星的質量，r是地球到太陽的距離，以及箭頭符號是徑向方向上的單位矢量。我們使用一個極坐標系統(r,θ)表示，太陽是在原點。我們將假定太陽受繞軌道運行的行星的引力而作的運動是可以忽略不計的。
這意味著行星運動是中心力運動的一個特定情況。中心力系統是力完全沿徑向作用的任何機械系統，其大小隻取決於到原點的距離：
現在我們寫出極坐標系統中加速度的分量：
一個點在變量上表示變量對時間的導數，兩個點表示二階導數。現在我們從牛頓第二定律得到運動方程：
然後我們通過等式兩邊的矢量分量相等來得到運動方程。它們是：
如你所見，這個方程組是嚴重非線性的。試圖明確地解出它們只是浪費時間，所以我們需要採取更明智的方法來找出這些方程試圖告訴我們的東西。
我們要做的第一件事是把m代回第二個方程，注意：
但等式左邊的數量等於零，這意味著mrθ與時間無關。您可以將mrθ看作是質量為m的質點在距原點距離r處具有角速度θ的角動量的表達式。這意味著角動量是守恆的。實際上，在中心力運動中始終保持角動量，因為力是相對於動量時間的導數，而在中心力運動中，力沒有角分量。這也直接遵循Noether定理。
角動量方程是：
因此，我們可以重新寫出運動方程：
就目前而言，這些方程對於我們來說仍然很難解決。但幸運的是，我們不必這樣做。我們只想知道軌道的形狀，所以我們要做的就是找到θ的r。作為執行此操作的第一步，讓我們替換u = 1 / r。然後，我們使用鏈式規則將時間導數重新編寫為相對於θ的導數：
然後代入角動量方程得到：
現在，我們將再次使用鏈式規則來獲得r的二階導數：
通過將用r和L表示的θ方程代入第一個方程，然後用剛發現的公式將r替換為1 / u和dr/dt，我們得到了路徑的微分方程：
解決方案很簡單，但是我們將把它留到下一節。
最後，注意力可以寫成勢能的負梯度：
這意味著力是守恆的，所以軌道運動的總能量不隨時間變化。總能量由動能和勢能之和給出：
我們現在準備推導克卜勒定律。
克卜勒第一定律
克卜勒的第一定律說，行星軌道的形狀是一個橢圓形，以太陽為中心。為了證明這一點，讓我們從我們的微分方程開始，在中心力，反向平方運動的情況下，確定路徑的形狀：
由初等微分方程可得：
通過使用三角恆等式並替換u = 1 / r和α=L/GMm，我們可以將其重寫為：
這是圓錐形截面的等式，其起點位於兩個焦點之一。參數e是偏心率，θ是半長軸與x軸之間的角度。這些術語將在稍後解釋。
嚴格來說，這足以考慮自我們假設太陽起源以來的第一條經證明的定律，但更多細節將有助於實際解釋該結果。
圓錐截面是通過將圓錐與平面相交而獲得的曲線，該曲線可以是橢圓，拋物線或雙曲線：
偏心率決定了運動軌跡所遵循的圓錐曲線的類型。。如果e<1，則路徑為封閉的橢圓軌道，如果e=0，則可能為圓形。如果e=1，粒子就會以拋物線路徑脫離重力。如果是>1，粒子就會沿雙曲路徑逃逸。如果e是無限的，那麼路徑就是一條直線。
任何圓錐截面都定義了兩條垂線，稱為半長半短軸和兩個點，稱為焦點。對於一個橢圓，這些長軸和短軸通過中心：
點F 1和F 2被稱為橢圓的焦點。它們總是位於長軸上，以使橢圓的中心是線段F 1 F 2的中點。半長和半短長度a和b是從橢圓中心到橢圓周長的最大和最小距離。偏心率是根據這些長度定義的。
焦點都與橢圓中心的距離為ae。長軸長度是a（1-e），轉軸長度是a（1 + e）（請記住，對於橢圓來說e <0）。
對於雙曲線來說，半長軸是兩條支路頂點之間的直線，而每條支路的半短軸是從支路頂點到漸近線的垂線：
如前所述，焦點與雙曲線對的「中心」 相距ae，可以將其視為頂點之間的線段的中點。偏心率定義為：
對於拋物線，情況有些不同。回憶一下拋物線是如何構造的。我們畫一條直線，叫做準線，然後選擇一個點，叫做焦點。拋物線是所有點的集合，這些點到焦點的距離等於它們到準線的垂直距離：
焦點在沿對稱軸到頂點的1/4a處。這裡的「主軸」是對稱軸。
路徑的形狀是橢圓形，拋物線形還是雙曲線形的條件是E分別為負，零或正。要了解原因，首先請注意動能嚴格為正，因為它是平方和，勢能嚴格為負，請記住E的值不變。然後：
如果E <0，則該行星沒有足夠的動能從引力場的勢阱中逸出，因此該行星與恆星的距離是有界的。滿足r（θ）的方程式的唯一滿足此要求的路徑是橢圓形路徑。如果E = 0，那麼行星幾乎沒有足夠的能量逃逸，因此幾乎沒有無法形成閉合軌道。偏心率的值幾乎不能使閉合曲線變為1，因此E = 0表示我們有一個拋物線。如果能量是無限的，那麼行星將立即在不經過任何相互作用的情況下立即飛過恆星，因此路徑將是一條直線。因此，如果E在0到正無窮大之間，則曲線應位於拋物線和直線之間，並且唯一滿足r（θ）方程的曲線為雙曲線。克卜勒第二定律
克卜勒第二定律，也被稱為「等面積定律」，告訴我們從太陽到行星的直線將在相同的時間內掃過相同的面積：
兩個陰影區域被掃出的時間是相等的。也顯示了克卜勒第一定律。克卜勒第二定律比第一定律需要的證明工作要少得多。同樣有趣的是，第二定律適用於一般的中心力運動，不像第一定律和第二定律，它們只適用於平方反比的情況。
從對角為φ的焦點之一得出的橢圓扇形的面積為：
現在我們來考慮方程兩邊的微分元素：
由於d恆定，因此dA / dt恆定。因此，在時間T中掃出的面積僅取決於T：
這就完成了證明。
克卜勒第三定律
克卜勒第三定律指出，軌道周期的平方與橢圓半長軸的立方成正比。第三定律可以用第二定律來證明。假設軌道周期τ。由於橢圓的面積是πab a和b在哪裡較明顯和長軸的長度。克卜勒第二定律給出：
由偏心率方程可知，半軸長度關係為：
將第二定律方程的兩側平方，然後將結果插入b：
回憶我們的方程r(θ)：
我們刪除了θ並選擇了一個θ= 0與頂峰重合的坐標系。頂點的長度是a（1-e），通過將其等於r（0），我們得到：
現在，我們將其插入期間的等式中以完成證明：
艾薩克·牛頓對克卜勒定律的數學推導是科學史上最偉大的成就之一。幾千年後，行星為什麼會在天空中運動的問題終於得到了解答。在此之前，這個問題一直困擾著各個歷史階段的哲學家。除此之外，它還證明了牛頓的萬有引力理論和他的運動定律是正確的，並且徹底消除了對太陽系日心說的任何懷疑。