比圓周率更神秘的「混沌」常數:4.669201609102…

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這「混沌」常數

比π還要神秘

40多年前，一個實驗室助手拿著一個計算器算出了一個比圓周率更神秘的常數：4.6692......，它涉及了大自然的秘密，開啟了混沌現象普適性研究。

超模君今天要講的就是這位混沌的先驅者：米切爾·費根鮑姆！

30歲前，名下只有一篇文章，曾經歷過被學校辭退的他，是如何從一個默默無聞的博士成為一鳴驚人的數學物理學家？

生性古怪，被學校辭退

說到費根鮑姆，更多人想到的是獲得圖靈獎的愛德華·費根鮑姆，其實米切爾·費根鮑姆也應該讓更多人知道。

米切爾·費根鮑姆，1944年出生在美國費城。第二次世界大戰後，舉家搬遷到布魯克林定居，他的父母是來自波蘭和烏克蘭的猶太移民，他父親是紐約港務局的公務員，母親是公立學校的老師。

大概是因為父母工作忙，突然轉學等原因，導致米切爾·費根鮑姆從小就比較內向，行為在外人看來比較古怪，但卻十分思考，常常會有提出一些天馬行空的問題。

雖然費根鮑姆生性古怪，但是他學習成績不差，從小就立志做一名電子工程師，因為他了解到電子是熱門專業，畢業後能掙錢。1964年如願取得了紐約學院的電子工程專業的學士學位。

本科畢業後，離實現夢想僅一步之遙，費根鮑姆面臨著選擇，一個是能掙錢的電氣工程師，很多同學都選擇的路；一個是浩瀚的物理海洋。這次，他沒有隨大流，選擇繼續探索物理世界。

費根鮑姆跨專業轉向物理學，進入麻省理工學院技術研究所讀研，花了6年時間潛心在物理領域的熱門方向基本粒子，成功取得麻省理工學院的碩士和博士學位。

雖然順利畢業，但是讓人訝異的是，費根鮑姆在碩博士期間並沒有拿得出手的學術成果，30歲前只有一篇文章。那是因為大家不看好的新領域混沌理論研究深深吸引了他，讓他放棄了大家認為前途一片光明的基本粒子研究。

他之所以沒有學術成果，很可能是因為碩博期間就已經開始研究混沌了，那一篇文章或許是用來應付博士畢業的。

博士畢業後，費根鮑姆憑藉麻省理工的博士帽子進入了康奈爾大學工作，他每天都花很多時間研究才開始出現的非線性和chaos（混沌），新領域走在前沿，很難出成果。

康奈爾大學認為這是一個暫時看不到未來的方向，更希望費根鮑姆能研究大熱的基本粒子領域，而費根鮑姆對混沌的研究已經著迷，不久便被辭退了。

在同行們眼裡，費根鮑姆是非常奇怪的一個人。他說話總是很快，往往丟掉冠詞和代詞，仿佛有點中歐腔。

後來有費根鮑姆在維吉尼亞理工研究所工作過一段時間，他堅持對混沌研究讓他的工作再次受阻，不久便離開了。這次他清楚地認識到要尋找一個能專心研究混沌相關的工作。

1974年，他跳槽到洛斯阿拉莫斯國家實驗室理論部給一個教授做助手，沒啥地位，工資不高。但是能研究水流紊亂這個世紀大難題，或許對混沌研究有幫助。

發現常數，被認可

雖然在洛斯阿拉莫斯實驗室只謀到一個助手的職位，但是卻成了他人生的轉折點。

費根鮑姆所在研究小組的課題是流體力學中的湍流現象，費根鮑姆需要研究的是：威爾遜的重整化群思想是否可以解決湍流這個世紀老難題。

剛開始時，費根鮑姆並不是十分鐘情於研究小組的這個課題，但因為湍流看起來一片混亂，像極了自己熱衷的「混沌」，便進行了深入研究。

費根鮑姆工作時像著魔一樣，甚至可以不吃飯不睡覺，無法工作時就散步和思考，無論白天還是夜晚。

這個研究方向使得費根鮑姆了解並熟悉了氣象學家洛倫茨宣告的「蝴蝶效應」，以及邏輯斯蒂迭代時產生的混沌問題。

蝴蝶效應圖像

邏輯斯蒂分岔圖

特別是邏輯斯蒂分岔圖中出現得越來越多的那些三岔路口，讓費根鮑姆非常感興趣，他覺得這其中肯定存在著某種規律。

雖然他在洛斯阿拉莫斯實驗室的地位不高，但是實驗室的設備還是很先進的，他得了一個能放在口袋裡的HP65計算器，一有空閒，他便一邊散步、一邊抽菸，不時地還把計算器拿出來編寫幾句程序。

現在看起來十分簡易、當時售價為795美元的HP-65是惠普公司的第一臺磁卡-可編程手持式計算器，用戶可以利用它編寫100多行的程序，還可將程序存儲在卡上，對磁卡進行 讀寫。這在上世紀70年代已經顯得很了不得，因而，HP-65的綽號為「超級明星」。

就是這個計算器，在費根鮑姆發現常數過程中，發揮了很重要的作用。他用計算器編程序算出每個三岔路口的坐標，即k值和相應的x無窮值。

費根鮑姆也注意到了隨著k的增大，三岔路口到來得越來越快，越來越密集。

從第一個三岔口k1開始：

k1=3

k3=3.5440903

k4=3.5644073

k5=3.5687594......

僅僅從k的表面數值，費根鮑姆沒有看出什麼名堂，於是，他又算出相鄰三岔路口間的距離d：

d1 = k2-k1 = 0.4495...,

d2 = k3-k2 = 0.0946...,

d3 = k4-k3 = 0.0203...，

d4 = k5-k4 = 0.00435...

從這些d之間，費根鮑姆好像看出點規律來！每次算出的下一個d，都大約是上一個d的五分之一！當然，並不是準確的五分之一，而是比例值差不多！好像有個什麼常數在這兒作怪，多計算幾項看看吧：

d1/d2 = 4.7514，

d2/d3 = 4.6562，

d3/d4 = 4.6683，

d4/d5 = 4.6686，

d5/d6 = 4.6692，

d6/d7 = 4.6694，

......

上面列出的這些比值都很接近，但又並不完全相同，兩個相鄰比值之間的差別卻越來越小。費根鮑姆再計算下去，又多算了幾項後，也只能得到一樣的數值了，因為計算器的精度是有限的。

於是，費根鮑姆便作了一個猜測，這個比值，(Kn-Kn-1)/(Kn+1-Kn)當n趨於無窮時，將收斂於一個極限值（也就是費根鮑姆常數）：

同時，費根鮑姆也注意到，分岔後的寬度w也是越變越小，見圖中所標示的w1、w2、w3等等（這個寬度從x=0.5測量，圖中的紅線）。那麼，它們的比值是否也符合某個規律呢？

計算結果再次驗證了費根鮑姆的想法，當n趨於無窮時，比值Wn/Wn+1將收斂於另一個 極限值：

原來這兩個分岔圖存在兩個常數，你要知道在物理裡，往往一個新常數的出現往往能誕生新的概念，新的理論，像牛頓力學中的萬有引力常數G，量子力學中的普朗克常數h等等。

費根鮑姆樂壞了，第一時間打電話告訴父母，自己發現了不平凡的東西，他要一鳴驚人了，他確實壓抑太久了。

但是，費根鮑姆再次受挫，他將有關這兩個常數的論文寄給物理期刊後，均被退稿，當時混沌的研究剛起步，審稿人沒有重視這兩個常數。儘管如此，費根鮑姆依舊繼續研究。

他開始研究一個新的問題：除了邏輯斯蒂系統之外，在別的系統是不是也按照這個規律出現呢？

費根鮑姆再次拿起HP65計算器對對另一個簡單的非線性系統（正弦映射系統）：Xn+1 = k sin(Xn)產生混沌的倍周期分岔過程作研究。

更多的倍周期分岔混沌系統

結果讓費根鮑姆非常激動，問題的答案是肯定的。

正弦映射系統與邏輯斯蒂系統遵循著一模一樣的規律。它們誕生的速度比值中都有一個同樣的幾何收斂因子：

分岔後的寬度也和邏輯斯蒂系統的分岔寬度，遵循同樣的幾何收斂因子而減小：

正弦映射和邏輯斯蒂映射的迭代函數完全不一樣，一個是正弦函數，另一個邏輯斯蒂映射，是二次的拋物線函數 ：（Xn+1 = kXn·（ 1-Xn））。

這個奇妙的事實說明，δ和α兩個費根鮑姆常數與迭代函數的細節無關，它們反映的物理本質應該是只與混沌現象、或者說是只與有序到無序過渡的某種物理規律有關，這就是學術界最後所領悟到、不得不承認的「費根鮑姆常數的普適性」。

一鳴驚人

1978年他發表了關於映射的研究的重要論文 《一個非線性變換類型的量子普適性》，其中特別談到了對於混沌理論有直接意義的Logistic映射。費根鮑姆常數的發現，開啟混沌普適性的研究，為混沌理論的研究作出了巨大貢獻。

他，一個默默無聞的博士，被人口中的怪物成為了數學物理學家，開啟了逆襲的人生。他的偏執、愛思考和對工作的瘋狂是他成功的重要因素。

1982年，費根鮑姆被請回康奈爾大學做教授，回到了最初的起點，這次不是憑藉麻省理工學院的名頭混進去的，而是靠硬實力。

1986年，費根鮑姆獲得沃爾夫物理獎，同一年，他受聘為洛克菲勒大學教授，直到如今。

逆襲不是兩三天就能完成的事，或者是兩三年，亦或者是二三十年。

不要停下前進的腳步，你現在也許還一事無成，但是要相信成功離你很近了。

部分資料來源於網絡