混沌與分形(大結局):未來,一切皆有可能

混沌的表面模糊不清，然而其核心卻和分形緊密聯繫在一起。

 

無論是洛倫茲氣象模型還是三體問題，都是一個確定性的微分方程，最終卻產生了混沌的現象。混沌是系統長期演化的結果。因此，研究一個動力學系統的長期行為才有可能揭示混沌的本質。原來，一個系統的狀態會隨著某些參數的變化從平衡走向混沌。這個事實被稱為倍周期分岔現象。

當參數的取值在一定範圍時，系統會長期趨於一個穩定的狀態。這個狀態就是人們期望預知的終極狀態。比如一個在空氣中運動的小球如果沒有其他外力的驅使，最終會靜止下來。這種靜止態就是小球的歸宿。可是當參數的取值發生變化時，系統的終極狀態不再是唯一的，而可能是在兩個狀態之間彼此搖擺。系統在單位時間內從一個狀態跳到另外一個狀態，然後再次經歷單位時間，系統再次從另外一個狀態跳回來。因此，系統回到相同狀態的時間就變成了單個狀態的兩倍。隨著參數值的繼續增加，終極狀態的數目也在迅速增加，每次都會以兩倍的形式遞增。這就是倍周期分岔現象。

  

倍周期分岔（圖片來源： 網絡）

倍周期分岔現象是系統出現混沌的先兆，最終會導致有序到無序，穩態向混沌的轉變。當參數出現更大的變化時，倍周期分岔現象呈崩潰之勢，平衡點已無法區分，連接成一片連續區域。此時就出現了混沌。而倍周期分岔現象就具有自相似性及普適性等重要的特徵。這個與內在隨機性密切相關的幾何性質揭示了倍周期分岔現象與分形、混沌、奇異吸引子等之間的內在聯繫，也成為混沌內蘊的秩序象徵。