從流體旋轉出發:用直覺思維推導出二維下的旋度公式

2020-12-04 電子通信和數學

i表示x軸上的單位向量

j表示y軸上的單位向量

旋度的引入：就是測量向量場中的「旋轉」

在二維空間中，如果一個向量場是由函數給出的

V(x,y)=V1(x,y)i+V2(x,y)j, 這個旋轉是由這個公式給出的

如下就是一個漂亮的漩渦向量場:

這個特定的向量場由以下函數定義:

現在我想讓你們想像這個向量場描述了流體流動，在一片混亂的河流中. 以流體粒子為樣本，如藍點所示，表示將會流動的向量場，每個點沿著它最靠近的箭頭移動。

在所有的混亂中，你可能會注意到流體在圈內旋轉，在左邊和右邊的圓圈裡，旋轉是逆時針的，在頂部和底部的圓圈裡，旋轉是順時針的

向量微積分的旋度運算通過把流體旋轉的概念轉化成一個公式來回答這個問題，它是一個算子，它定義了一個向量場的函數，並給出一個描述該向量場在每個點上的流體旋轉的函數

從技術上講，旋度運算只適用於三維空間，但在這篇文章中，我們用一個公式來描述流體在二維中的旋轉來熱身。

描述旋轉流體的向量場的一個最簡單的例子是

它是這樣的

從某種意義上說，這是逆時針旋轉最完美的例子，只要理解為什麼函數V(x,y)=-yi+xj,是逆時針旋轉的，你就可以理解二維向量場中旋轉的一般公式。

i方向上的分量首先，讓我們來理解為什麼-yi分量表示逆時針旋轉, 想像一下，流體中有一根小樹枝，與y軸平行。更具體地說，假設一端在原點(0,0)，另一端在點(0,2)，向量場的-yi分量對這條細枝上點的流體速度意味著什麼?

這意味著樹枝頂部的速度是-2i，一個向左的矢量，而樹枝底部的速度是0

對於小樹枝，這意味著逆時針旋轉的重要因素是當我們向上移動向量場時，向量指向更加偏向左邊，可用一些符號來表示，這裡重要的一點是附加在點(x0,y0)上的向量的i分量隨著y0的增加而減小

用更多的符號來表達就是

讓我們稍微概括一下這個概念

考慮一個更一般的向量場

分量v1和v2是任意標量值函數，如果你把一根小樹枝放在(x0,y0)點，平行於y-軸, 你怎麼能僅僅通過觀察v1,v2和(x0,y0)來判斷樹枝是否會旋轉呢?

答案是：:看y在環繞點(x0,y0)附近變化時v1的變化率

如果這是負的，它表明當y0增加時，向量指向左邊更多，所以旋轉是逆時針的。如果它是正的，當y0增加時，向量指向右邊更多，表示順時針旋轉

j方向上的分量接下來，讓我們看看為什麼原始向量場的xj分量也建議逆時針旋轉。這一次，想像一根平行於x軸的樹枝。具體來說，把樹枝的一端放在原點(0,0)，另一端放在原點(2,0)。

與原點相連的向量是0，但與另一端相連的向量是點(2,0)處的2j，一個向上的向量。因此，液體推動棒的右端向上，而左端沒有力，所以會有一個逆時針旋轉

對於第二根樹枝，當我們向右移動時，向量的垂直分量增加，表明是逆時針旋轉。也就是說，向量y在點(x0,y0)上的分量隨著x0的增加而增加

對於更一般的向量場函數

我們可以通過觀察x的變化來測量(x0,y0)點附近的這種效應。

結合上述對i和j 的兩種分析把這兩個分量放在一起，可以用下面的量來測量流體在靠近點(x0,y0)的向量場V上的旋轉：旋度

當你求這個值時，一個正數將表示一般傾向於繞(x0,y0)逆時針旋轉，負數表示相反的順時針旋轉。如果它等於0，在(x0,y0)周圍的流體就沒有旋轉。如果你對細節感興趣，這個公式給出了(x0,y0)附近流體角速度的兩倍

示例:使用旋度cur分析二維向量場中的旋轉

問題:考慮由函數定義的向量場

根據這個向量場確定流體是否順時針流動，或者逆時針旋轉一點

總結

旋度是用來測量向量場中的「旋轉」程度的

在二維空間中，如果一個向量場是由函數給出的，V(x,y)=V1(x,y)i+V2(x,y)j這個旋轉是由這個公式給出的

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