高等數學 ch2_5 函數的微分

1. 微分的定義幾何意義(數1數2掌握，數3了解)；

3. 微分運算法則(微分形式不變性) (了解，會求函數的微分)；

同濟6版《高等數學》習題2-5: 1,3(3)、(6)，4(4)、(6)、(7)；

一、微分的概念    

引例:  一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響, 其邊長由變到

問此薄片面積改變了多少?  

定義:若函數y= f(x)在點的增量可表示為

( A 為不依賴於△x 的常數)

則稱函數y= f(x)在點可微,而A△x稱為f(x)在點的微分,記作dy或df,即

定理:函數y= f(x)在點可微的充要條件是y= f(x)在點處可導, 即

「充分性」 已知y= f(x)在點x可導,則

所以△x→0時Ay與dy是等價無窮小，故當|△x|很小時，有近似公式

微分的幾何意義：切線縱坐標的增量

例1,

基本初等函數的微分公式 (見 P116表)

二、 微分運算法則

設 u(x) , v(x) 均可微 ,  則

5. 複合函數的微分

則複合函數y= f[ φ(x)]的微分為

例3. 在下列括號中填入適當的函數使等式成立:

說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.

注意:數學中的反問題往往出現多值性. 例如:

三、 微分在近似計算中的應用

當|△x|很小時,得近似等式:

常用近似公式: (|x| 很小)

例6.有一批半徑為1cm 的球，為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅，厚度定為0.01cm，估計一下，每隻球需用銅多少克.

誤差傳遞公式 :

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