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01近八年中考真題精選
02參考答案
03精典題目解析
一、選擇題
1.A．
2. 考點根與係數的關係．分析由x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的兩根，結合根與係數的關係可得出x1+x2=﹣，x1x2=﹣2，將其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出結果．解答解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的兩根，∴x1+x2=﹣=﹣，1x2==﹣2，∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣（﹣2）=．故選D．
3. 答案B．試題分析：已知點P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0，所以ac＜0，即可判定△=b2﹣4ac＞0，所以方程有兩個不相等的實數根．故選B．考點：根的判別式；點的坐標．
4. 答案C．試題分析：解不等式得x＜，而不等式的解集為x＜1，所以=1，解得a=0，又因為△==﹣4，所以關於x的一元二次方程沒有實數根．故選C．考點：根的判別式；不等式的解集．
5. 答案A試題分析：考點AA：根的判別式；C4：在數軸上表示不等式的解集．分析根據一元二次方程的定義結合根的判別式，即可得出關於k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值範圍，將其表示在數軸上即可得出結論．解答解：根據一元二次方程的定義結合根的判別式，由關於x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有實數根，可得出關於k的一元一次不等式組 ，解得：k＞﹣1．將其表示在數軸上為.故選：A．考點：1、根的判別式；2、在數軸上表示不等式的解集
6. 答案：B解析：由於k2＋2k＋4可化為(k＋1)2＋3＞0，因此－(k2＋2k＋4)＜0，因此這個函數y隨x的增加而減小，由於－7＞－8，因此m＜n．
7. 分析直接把已知數據代入進而得出c的值，再解方程求出答案．點評此題主要考查了根的判別式，正確得出c的值是解題關鍵．
8. 分析利用一次函數的性質得到k＞0，b≤0，再判斷△＝k2﹣4b＞0，從而得到方程根的情況．點評本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關係：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．也考查了一次函數的性質．
9. 分析首先畫出樹狀圖即可求得所有等可能的結果與使ac≤4的情況，然後利用概率公式求解即可求得答案．點評本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重複不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合於兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
10. 答案C解析解：（1）畫樹狀圖如下：由圖可知，共有9種等可能的結果，其中能使乙獲勝的有4種結果數，∴乙獲勝的概率為，故選：C．首先根據題意畫出樹狀圖，然後由樹狀圖求得所有等可能的結果，利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然後利用概率公式求解即可求得乙獲勝的概率。本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．
11. 分析根據二次項係數非零結合根的判別式△≥0，即可得出關於k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值範圍．解答解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，∵關於x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實數根，∴解得：k≥且k≠2．故選：D．點評本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，根據一元二次方程的定義結合根的判別式△≥0，列出關於k的一元一次不等式組是解題的關鍵．
12. 答案A.{解析}本題考查了根的判別式，Δ=b2+12c=b2+12×（5-b）=b2+60-12b=b2-12b+36+24=（b-6）2+24>0． ∴方程有兩個不相等的實數根，因此本題選A．
13. 分析利用判別式的意義得到△＝（﹣2）2﹣4m＜0，然後解不等式即可．解答解：根據題意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1．故選：D．點評本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關係：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；當△＜0時，方程無實數根．
14. 分析根據二次項係數非零及根的判別式△≥0，即可得出關於k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值範圍．解答解：∵關於x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有兩個實數根，得：k≤且k≠1．故選：D．點評本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，利用二次項係數非零及根的判別式△≥0，找出關於k的一元一次不等式組是解題的關鍵．
15. 分析先化成一般式後，在求根的判別式．解答解：原方程可化為：x2﹣2x﹣4＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程由兩個不相等的實數根．故選：A．點評本題運用了根的判別式的知識點，把方程轉化為一般式是解決問題的關鍵．
16.分析： 根據根的判別式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．解答： 解：∵關於x的方程x2+2x+a=0不存在實數根，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故選B．點評： 此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關係：（1）△＞0方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0方程沒有實數根．
二、填空題
17. 沒有實數根．
18. 分析由根的判別式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論．
解答解：∵關於x的方程x2﹣4x+b=0有兩個相等的實數根，
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜邊，
∴AC邊上的中線長=AC=2；
故答案為：2．
點評本題考查了根的判別式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線性質；證明△ABC是直角三角形是解決問題的關鍵．
19. 分析根據一元二次方程根的存在性，利用判別式△＞0求解即可；解答解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有兩個不相等的實數根，∴△＝4+4m＞0，∴m＞﹣1；故答案為0；點評本題考查一元二次方程的根的存在性；熟練掌握利用判別式△確定一元二次方程的根的存在性是解題的關鍵．
20. 分析根據根的判別式等於b2﹣4ac，代入求值即可．解答解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，故答案為：5．點評本題考查了根的判別式，熟記根的判別式的公式△＝b2﹣4ac．
21. 分析由於方程有實數根，則其根的判別式△≥0，由此可以得到關於c的不等式，解不等式就可以求出c的取值範圍．點評本題主要考查根與係數的關係，根的判別式，關鍵在於求出c的取值範圍．
22. 分析要使方程有兩個相等的實數根，即△＝0，則利用根的判別式即可求得一次項的係數即可．解答解：點評此題主要考查一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）可以判斷方程的根的情況：一元二次方程的根與根的判別式 有如下關係：①當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當△＝0 時，方程有兩個相等的實數根；③當△＜0 時，方程無實數根，但有2個共軛復根．上述結論反過來也成立．
23. 分析由二次項係數非零及根的判別式△＞0，即可得出關於a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值範圍，由a的取值範圍可得出a+1＞0，﹣a﹣3＜0，進而可得出點P在第四象限，此題得解．點評本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義以及點的坐標，利用二次項係數非零及根的判別式△＞0，找出關於a的一元一次不等式組是解題的關鍵．
24. 分析利用根的判別式進行計算，令△＞0即可得到關於k的不等式，解答即可．
點評本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關係：
（1）△＞0方程有兩個不相等的實數根；
（2）△＝0方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0方程沒有實數根．
三、計算題
26. 分析（1）利用判別式的意義得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然後解不等式即可；
（2）利用（1）中的結論得到k的最大整數為2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分別代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出對應的m，同時滿足m﹣1≠0．
點評本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關係：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．
四、應用題
27. 解：（1）證明：∵一元二次方程為x2-(2k+1)x+k2+k=0,
=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=1>0,
∴此方程有兩個不相等的實數根.
(2)∵△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數根，
由（1）知，AB≠AC，△ABC第三邊BC的長為5，且△ABC是等腰三角形，
∴必然有AB=5或AC=5，即x=5是原方程的一個解.
將x=5代入方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，
25-5(2k+1)+k2+k=0，解得k=4或k=5.
當k=4時，原方程為x2-9x+20=0，x1=5,x2=4,以5，5，4為邊長能構成等腰三角形；
當k=5時，原方程為x2-11x+30=0，x1=5,x2=6,以5，5，6為邊長能構成等腰三角形；（必須檢驗方程的另一個解大於0小於10且不等於5）
∴k的值為4或5.
28. 答案有兩個不相等的實數根．
試題分析：根據2☆a的值小於0結合新運算可得出關於a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值範圍，再由根的判別式得出△＝（一b)2-8a, 結合a的取值範圍即可得知△的正負，由此即可得出結論。
試題解析：∵2☆a的值小於0,∴ 22a+a=5a＜0, 解得：a＜0.
在方程2x2-bx+a=0中，△＝（－b)2-8a≥-8a＞0, ∴方程2x2-bx+a=0有兩個不相等的實數根。
考點：根的判別式；新定義．
五、複合題
29. (1)∵△＝[(m3)]2－4·1·(－m2)＝m2－6m＋9＋4m2
＝5m2－6m＋9
＝5(m－)2＋
∵(m－)2≥0
∴5(m－)2＋＞0
∴不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根
（2）∵x1·x2=m2≤0
∴x1與x2異號.
①當x1≥0，x2＜0時.
由∣x1∣=∣x2∣－2得x1=－x2－2∴x1＋x2=－2
又x1＋x2=m－3∴m－3=－2∴m=1
此時方程為x2＋2x－1=0∴x1=－1＋.x2=－1－
②當x1＜0，x2≥0時
由∣x1∣=∣x2∣－2得－x1=x2－2
∴x1＋x2＝2又x1＋x2＝m－3
∴m－3=2∴m=5
此時方程為x2－2x－25=0，∴x1=1＋x2=1－
30. 分析（1）利用判別式的意義得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然後解不等式即可；
（2）在（1）中的k的範圍內取﹣2，方程變形為x2﹣2x=0，然後利用因式分法解方程即可．
解答解：（1）根據題意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，
解得k＞﹣3；
（2）取k=﹣2，則方程變形為x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．