初中數學中，一元二次方程是學習的重點，而一元二次方程中根的判別式的應用可以說是考試中必考的內容，而且根的判別式出題類型也是非常的多，今天和同學們一起總結學習初中數學中一元二次方程根的判別式的應用，通過題型詳解，進行根的判別式這一知識點應用的全覆蓋，幫助同學們掌握這部分的知識點。
一、判斷一元二次方程根的情況
方法點撥： 一元二次方程根的判別式Δ＝b^2－4ac可以用來判斷根的情況，也可以根據一元二次方程根的情況確定方程中的未知係數．
1、已知a，b，c為常數，點P(a，c)在第二象限，則關於x的方程ax^2＋bx＋c＝0的根的情況是()
A．有兩個相等的實數根;B．有兩個不相等的實數根;C．沒有實數根;D．無法判斷
【解析】 ∵點P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴－4ac＞0.
又∵b^2≥0，∴Δ＝b2－4ac＞0，∴關於x的方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根．故選B.
2、關於x的一元二次方程ax^2＋bx＋1＝0.(1)當b＝a＋2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；(2)若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的a，b的值，並求此時方程的根．
解：(1)∵b＝a＋2，∴Δ＝b2－4×a×1＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，∴原方程有兩個不相等的實數根；
(2)答案不唯一，如當a＝1，b＝2時，原方程為x^2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1.
3、已知關於x的方程x^2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求證：方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，並求出以此兩根為邊長的直角三角形的周長．
【解析】:(1)根據關於x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判別式的符號來證明結論；
(2)根據一元二次方程的根的定義求得m的值，從而求得方程的另一根．分類討論：①當兩根為直角三角形的兩直角邊長時，由勾股定理得斜邊的長度；②當兩根為直角三角形的一直角邊和斜邊長時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊長，再根據三角形的周長公式進行計算．
解：(1)證明：∵Δ＝b^2－4ac＝[－(m＋2)]^2－4×1×(2m－1)＝m^2－4m＋8＝(m－2)^2＋4>0，∴方程總有兩個不相等的實數根；
(2)∵此方程的一個根是1，∴12－(m＋2)＋(2m－1)＝0，解得m＝2，∴原方程為x^2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴方程的另一個根為x＝3.
①當1，3為直角邊長時，斜邊長為＝√10，
∴直角三角形的周長為1＋3＋√10＝4＋√10；
②當3為斜邊長時，另一條直角邊長為＝2√2，∴直角三角形的周長為1＋3＋2√2＝4＋2√2.
二、確定一元二次方程中字母係數的值
1、已知關於x的方程(k－1)x^2－2kx＋k－3＝0有兩個相等的實數根，則k的值是____.
【解析】 ∵關於x的方程(k－1)x^2－2kx＋k－3＝0有兩個相等的實數根，所以k-1≠0,4k^2-4(k-1)(k-3)=0,∴解得k＝3/4.
2、已知關於x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分別為△ABC的三邊的長．(1)如果x＝－1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，並說明理由；(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，並說明理由；(3)如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴2a－2b＝0，
∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；
(2)△ABC是直角三角形．
理由：∵方程有兩個相等的實數根，∴Δ＝(2b)^2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴b^2＋c^2＝a^2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)∵△ABC是等邊三角形，∴a＝b＝c，
∴原方程變為2ax^2＋2ax＝0.又∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
三、確定一元二次方程中字母係數的取值範圍
1、關於x的一元二次方程x^2＋3x＋m＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值範圍為( )
A．m≤9/4 B．m＜9/4
C．m≤4/9 D．m＜4/9
【解析】 ∵一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴Δ＞0，即Δ＝32－4m＞0，解得m＜9/4.故選B。
四、確定一元二次方程中隱含條件字母係數的取值範圍
1、關於x的一元二次方程(k＋1)x^2－2x＋1＝0有兩個實數根，則k的取值範圍是( )
A．k≥0 B．k≤0
C．k＜0且k≠－1 D．k≤0且k≠－1
【解析】 由題意得Δ＝b^2－4ac＝(－2)^2－4(k＋1)≥0，解得k≤0，又∵k＋1≠0，即k≠－1，∴k≤0且k≠－1.故選D.
2、如果關於x的方程mx^2－2(m＋2)x＋m＋5＝0沒有實數根，試判斷關於x的方程(m－5)x^2－2(m－1)x＋m＝0的根的情況．
解：∵方程mx^2－2(m＋2)x＋m＋5＝0沒有實數根，∴m≠0，原方程是關於x的一元二次方程，∴Δ＝[－2(m＋2)]^2－4m(m＋5)＝4(m^2＋4m＋4－m^2－5m)＝4(4－m)＜0，∴m＞4.
對於方程(m－5)x^2－2(m－1)x＋m＝0，當m＝5時，方程有一個實數根；
當m≠5時，Δ＝b^2－4ac＝[－2(m－1)]^2－4m(m－5)＝4(3m＋1)＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根．
綜上所述，當m＝5時，此方程有一個實數根；當m＞4且m≠5時，此方程有兩個不相等的實數根．
3、關於x的一元二次方程(a－6)x^2－8x＋9＝0有實數根．(1)求a的最大整數值；
(2)當a取最大整數值時，求出該方程的根.
解：(1)∵關於x的一元二次方程(a－6)x^2－8x＋9＝0有實數根，∴a－6≠0，Δ＝b^2－4ac＝(－8)^2－4·(a－6)·9≥0，解得a≤70/9且a≠6.∴a的最大整數值為7；
(2)當a＝7時，原一元二次方程變為x^2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，
∴Δ＝b^2－4ac＝(－8)^2－4×1×9＝28，得∴x1＝4＋√7，x2＝4－√7；