西安某個非常傑出的幼兒園園長曾告訴我：當年數學儘管考高分，但絕對就是背題，老師講過的、自己做過的題目一條條都很辛苦地背下來，每次考試都先把相關定理公式默寫在草稿紙上，然後再做題。
頂著家人巨大的壓力，無論如何也上不了高中，毅然選擇了幼教。直到後來陪兒子上初中課外輔導班的時候，隨班跟著聽課才弄明白幾何的那些事情，恍然大悟原來是這麼回事兒。
確實有不少人在幾何方面不「開竅」，書上講圓柱體側面展開之後是個長方形，儘管老師做了演示，可還是想不通：「明明是個圓的，怎麼可能是長方形呢？」。
現實中好多孩子到了初中之後，三角形全等、三角形相似等內容確實完全理解不了。這主要與4～6歲圖形建構關鍵期時練習不夠相關。
一、幾何圖形
孩子從來到世間的那一刻就開始感知圖形了，圖形無處不在，與我們的生活息息相關，生活中到處都有幾何圖形，幾何圖形是所有圖形的總稱。我們能看見的一切都是由點、線、面等基本幾何圖形組成的。
幾何圖形包括平面圖形與立體圖形，點、直線、線段、射線、三角形、四邊形等為平面圖形；長方體、圓球、圓錐等為立體圖形。
二、拓撲空間關係
客觀世界中的各種物體不僅在形態上表現出區別於其他事物的獨特性，而且還在空間存在形式上表現出基本的拓撲空間關係（拓撲學是數學的一支學科，它是研究空間形式不變性的科學。在拓撲幾何中，圖形在形狀上是柔性的，把三角形、正方形的角壓進去就都變成了圓形，因此，我們原先在歐式幾何中認為各不相同的圓形、正方形、三角形，在拓撲學中都是等價的封閉圖形）。
皮亞傑關於兒童認識空間的實驗研究認為，學前兒童最初的空間概念正是拓撲學裡的空間關係，然後才是歐氏幾何和投影幾何，這說明兒童的空間概念和幾何概念是緊密聯繫的。
在拓撲學中存在著四種基本的空間關係：鄰近關係、分離關係、次序關係、包圍關係，用人臉五官的位置來理解，則眼睛和鼻子、鼻子和嘴巴的關係都是鄰近關係；眼睛和嘴巴因鼻子而分離，所以它們是分離關係；眉毛、眼睛、鼻子、嘴巴自上而下順序排列存在著一定的次序關係，且不能相互顛倒；而五官被臉龐的曲線包圍起來則是包圍關係。
其實，不僅人的五官位置是如此，只要稍稍留意一下我們周圍的物體，都不難發現事物與事物之間的這四種關係比比皆是。
就拓撲學來說，無論把圖形做怎樣的拉扯或壓縮，圖形原來的空間關係不會改變，這就像一團元宵面包著一團豆沙餡，無論你把元宵搓成個鴨蛋形還是一個桃子形甚至將它壓成餅子，餡可能也會隨著擠壓而變形或移動位置，但面包著餡的拓撲關係不會改變。
圖形信息具有兩個特點：
1.圖形信息是具體的，而非抽象的。
比如，「家具」屬於抽象的信息，而桌子、椅子是具體的，可被描述的信息。幼兒在學前期，尤其在學前初期，只能掌握這些具體、形象的信息，認知活動圍繞這些具體信息展開。
2.圖形信息是直觀的，能夠很快被人們感知到的。
學前期的兒童通過動作、行為直接感知這種直觀信息，進行學習和其他活動處理圖形信息的能力我們稱之為圖形能力。圖形能力處理的是具體、形象、可直接感知的信息。
三、圖形能力
圖形能力包括圖形認知能力、圖形記憶能力、圖形發散思維能力、圖形聚斂思維能力以及圖形評價能力。
其中，圖形認知能力作為其他圖形能力的基礎，是指發現、了解、識別圖形信息的能力，是吸收新信息和利用以前接觸過的信息的能力。
吉爾福特將圖形認知能力分為圖形單元認知、圖形類別認知、圖形關係認知、圖形系統認知、圖形轉換認知及圖形蘊涵認知能力。
隨著幼兒的年齡增長，我們所培養幼兒的圖形認知能力，從單體認知、類別、關係認知發展到更進一步的系統、轉換等認知，並從圖形認知能力發展到圖形評價、圖形發散思維和圖形聚斂思維等方面的能力。
皮亞傑讓兒童觸摸隱藏的實物，然後要求其在另堆實物中指認出相同者或畫出實物的外形。根據結果提出了兒童圖形知覺發展的三個階段：
第一階段（2～4歲）
第一階段能分辨開放圖形和封閉圖形，但不能分辨歐氏圖形。兒童的典型行為是用手順著實物的四周輪廓描摩，把手指穿入洞中分離它、這些對物體外圍界限的知覺，注意其是否開放、封閉或分離，屬於拓撲幾何的性質。
第二階段（4～6歲）
第二階段是過渡期，能辨認歐氏圖形，即區分直線圖形（正方形、長方形、平行四邊形、菱形）和曲線圖形（圓形、橢圓形）。兒童用眼和手跟隨圖形的邊圍，並辨識角。
第三階段（7歲左右）
第三階段具有逆向思考能力，能辨識直線形成的封閉圖形。辨識圖形時，由某一固定參考點開始，較有計劃和系統性。
在小班時，幼兒還沒法畫出直線圖形，但上了中班，這點要求對他們來說已經不再是困難了，到上大班的時候，他們已能認識各種各樣的平面圖形和各種幾何體。
他們在玩幾何圖形片和搭積木的過程中，鞏固著以前獲得的有關空間概念，如上面、下面、裡面、外面……體驗著一片片或一塊塊（即部分）與拼搭出的整個物體（及整體）之間的關係；又在「需要幾塊就拿幾塊」的規則執行中，鞏固著數的概念；其空間想像能力和創造性也在此時得到進一步發展，想到用直角三角形積木拼成木磚。
由於圖形比起數來要具體、直觀得多——圖形是提供兒童連接數學與真實世界的一個最佳機會，五歲至六歲的孩子在幼兒園學習圖形構建，為他們進入小學學習數學打下了堅實基礎。
四、圖形建構關鍵期
蒙臺梭利認為，兒童在每個特定時期都有一種特殊的感受能力，這種感受力促使他對環境中的某些事物甚為敏感，對有關事物注意力很集中、很耐心，而對其他事物則置若罔聞。
她認為這種注意不是出於單純的好奇，而是在一定的時期由於本能與特定的外部特徵之間的密切聯繫而產生的一種興趣，是從無意識深處產生出來的一種熱情，又由於滿足了需要而得到快樂，增強了自己的力量。
蒙臺梭利還試圖對兒童的敏感期加以區分，提出兒童從出生到5歲是感覺的敏感期；4～5歲是數學概念的敏感期，5～6歲是數學邏輯的敏感期。
在圖形方面通過正確認識圓形、正方形、三角形以及長方形、半圓形、橢圓形和梯形，且能逐步理解平面圖形的基本特徵；能逐步做到圖形守恆，不受圖形的大小、擺放位置的影響，正確地辨認圖形；能對相似的平面圖形加以比較，理解圖形之間的簡單關係；對平面圖形的組合拼搭活動表現出較高的積極性以及一定的創造性。
5～6歲的幼兒還能夠理解一種圖形的典型特徵，並在頭腦中形成某種圖形的「標準樣式」，從而進行正確的判斷；能進一步理解圖形之間較複雜的組合關係。例如：長方形與三角形、梯形之間的組合關係。
學前階段的兒童各種感覺特別敏感，處在各種感覺的敏感期，在這一時期如不進行充分的感覺活動，長大以後不僅難以彌補而且還會使其整個精神發展受到損傷。
蒙臺梭利認為，必須對幼兒進行系統的和多方面的感官訓練，使他們通過對外部世界的直接接觸，發展敏銳的感覺和觀察力。
五、強化訓練
幼兒園對兒童進行幾何圖形啟蒙教育，是促進兒童邏輯思維能力和空間想像能力發展的重要起點，而邏輯思維能力是人才素質最重要的、也是最基本的素質之一。
兒童生活在具有各種形狀的物體的自然環境和社會環境中，他們早就對物體的大小、形狀感興趣，在遊戲中喜歡尋找各種形狀的玩具。
但兒童要獲得幾何形狀的初步概念，發展邏輯思維能力和空間想像能力，需要成人和教師的正確引導及科學的教育方法。
① 認識幾何形體
幾何形體包括平面圖形和立體圖形兩大類。平面圖形是由同一平面內的點、線、面所構成的圖形，如圓形、正方形、三角形、長方形、橢圓形、梯形等。立體圖形則是由空間非同一平面內的點、線、面及其組合而成的圖形，如球體、圓柱體、長方體、正方體等。
幾何形體中的點沒有大小，線沒有長短粗細，面沒有厚度，體是指形狀大小。點、線、面體四者的關係是線與線相交於點，面與面相交於線，體由面包圍而成。各種圖形都有相應的定義來確定：
圓形：即平面內與一個定點的距離等於定長的點的集合，這些點圍成了個封閉的曲線。如瓶口、碗口、圓盤、車輪等物體的輪廓。
三角形：是由三條線段圍合而成的封閉曲線。其中若按角的特徵來分，可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；若按邊的特徵來分，又可分作不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。如樂器中的三角鐵、測量工具中的三角尺、房屋山牆上部的房頂等物體輪廓。
正方形：是有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形。如方手帕、方瓷磚、方桌面、方畫框、方窗框等物體的輪廓。
長方形：是有一個角是直角的平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形）。如通常見到的書、門、長紙盒、長桌面等物體的輪廓。
② 建立圖形關係
圖形關係包括了認識平面圖形之間關係的要求和認識平面圖形與幾何體之間關係（即平面圖形如何圍合成幾何體）的要求。而平面圖形之間的關係又有兩方面的含義：
一是指圖形之間組合或分解的關係：幾個直線圖形或帶直線邊的曲線圖形可以拼成一個大的圖形。
同樣，一個任意圖形（或直線圖形或曲線圖形）又可分解成幾個相同的或不同的圖形。例如，一個軸對稱的圖形（如梯形）可以等分成兩個一樣大的相同圖形或幾個不同的圖形；一個中心對稱的圖形（如正方形）可以等分為幾個一樣大的相同圖形或幾個不同圖形。
二是指比較相似圖形的區別，如兩個相似圖形，基本形狀不變，角的大小也不變；只有邊長變了，圖形就被放大或縮小了，在比較中體驗其中的相互聯繫。
如在玩幾何圖形活動中，教師讓兒童想想利用幾何圖形可以怎麼玩。幼兒經過思索和想像，會給幾何圖形分類、排序，還會用幾何圖形進行拼圖、遊戲等。如把正方形、圓形、三角形、長方形的紙拼搭出小狐狸。
在兒童操作前，教師提出啟發性的問題：小狐狸的頭形是什麼樣的，讓兒童腦海裡有小狐狸的形狀。然後讓兒童進行拼搭的活動。兒童的探索實踐說明，雖然提供的材料是相同的，但是兒童操作的結果卻是多樣的，通過操作可以充分發揮兒童的創造性想像，又可以培養兒童多角度思考問題的能力。
要引導幼兒能把物體零散部分構成一個整體：即發現物體（或圖形）部分和整體的相互關係，要求將幼兒的注意引向拆零部分與整體聯繫的線索上，發展其空間關係和對圖形的心理旋轉能力。
③ 逐漸抽象化
愛因斯坦說過：「想像力比知識更重要，因為知識是有限的，而想像力概括著世界上的一切，推動著進步，並且是知識進化的源泉。」
人的創造性思維都需要藉助想像，空間想像能力是指人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象的能力，是邏輯思維與幾何知識及相關技能、經驗的融合。
兒童的認知水平往往還停留在事物的表面，對簡單的、直觀的、平面的圖形比較容易理解，而將複雜圖形轉換為簡單圖形，相對比較難。
學齡前兒童的想像具有隨意性，幻想的成分較多。我們培養兒童的想像思維，要注意鼓勵兒童進行各種猜想和幻想，讓他們大膽地去想。
要培養兒童空間想像能力，就要豐富幼兒頭腦中的表象。現在的兒童絕大多數是從家到學校，沒有生活經驗缺乏感性認識，頭腦中積累的表象並不豐富。
教學中教師必須有意識地通過大量教具、掛圖、參觀、多媒體教學手段等直觀教學擴大兒童的感性認識，使其積累大量的表象。讓幼兒在實際玩弄教具的過程，指導幼兒觀察，了解其明顯的外形特徵，然後概括出名稱。這樣，幼兒在觀察中不僅獲得了豐富的知識，同時也發展了思維能力。
例如，教幼兒理解「二等分」的含義時，可以滲透幾何形體啟蒙教育。教師可以拿一塊正方形的紙進行演示，先把它對摺，等分成兩個同樣大的長方形。教師邊等分，邊指導幼兒觀察教師怎樣把一個正方形分成兩個長方形。同時讓幼兒觀察和比較被分成的兩個長方形是不是完全相同。
然後教師還可以用同樣的方法向幼兒演示把長方形和圓形等分的過程。最後使幼兒在直接感知的基礎上，通過思考知道，把一個圖形分成兩個完全相同的圖形，就是二等分。
④ 圖形創意
圖形創意是指通過一種形態的變化將某種社會事物濃縮成一種視覺的符號，標記和代碼，而使之成為一種具有政治、經濟、文化或生活價值的東西，並以此來表現任何主體。
簡單的表述就是利用日常生活中能夠見到的普通事物的特性進行相關聯想，並創造出現實中不存在的符號化的圖形，如單位的標識。
圖形作為一種人與人交流的語言應該被幼兒熟悉，並且能夠學會應用。我們知道，思想、情感、信息都是一種抽象的形態，看不見，摸不著。
人們在進行思想情感交流時，需要用一種可以被我們的感官感知的物質形態來負載抽象形態的意義，這樣才能實現交流過程。
圖形的實質是一種視覺符號，如紅燈代表停止，v字的手勢代表勝利，商標代表了某種產品品牌，麥當勞的M標誌就是一個符號。
幼兒繪畫中也會出現大量的符號化的形象。例如，會用簡單一個圓下面加個「介」字表示人、兩個三角形組成的小魚，都是在幼兒心中的「符號」。這樣簡單的圖形就能表達幼兒對於繪畫的基本需要。
作者｜錢志亮，北京師範大學名師。86級畢業留校，1994年留學歸國，博士學歷。研究方向為兒童發展問題諮詢、特殊需要兒童教育。