淺談超越函數(一)

2021-01-14 黃岡數學小王子的數學世界

      本期乾貨分享的內容聚焦在【超越函數】，因作者規劃的內容量較多，分兩期分享完，敬請理解！


      首先什麼叫超越函數呢？超越函數(Transcendental Functions)，指的是變量之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數。大家之前學習過的三角函數、指數函數、對數函數等都屬於超越函數。

      我們從y=e^x（e的x次方）和y=lnx這兩個基本的超越函數談起，關於它倆有著兩個重要不等式：

       上述兩個結論是不等式放縮問題的重要工具。我們將這兩個函數與x進行不同的組合，得到一系列的超越函數，通過研究它們 的圖象和性質，挖掘它們在解題中的重要作用。

【函數的性質】

【函數的圖象】

【實例1】

解析如下：

【實例2】

解析如下：


【函數性質】

【函數圖象】

【實例3】

解析如下：

【函數性質】

【函數圖象】


  由函數的圖象和性質，可以得到下面兩個重要不等式：


【實例4】

解析如下：

【實例5】

解析如下：



       本期一共分享了三種類型的超越函數，下一期再來分享其他類型的，敬請各位期待！

        

相關焦點

  • 淺談超越函數(二)
    作者上次分享了超越函數的三種類型題目，咱們接著上一期的內容來，請各位仔細閱讀、學習與沉澱。        四、函數 y=xlnx 的性質與應用 【函數性質】【函數圖象】五、函數 y=x/lnx 的性質和應用【函數性質】
  • 抓超越函數本質 探超越夢想策略
    江西省學科帶頭人、南昌二中周啟新老師主講《超越函數的突破應對策略》，全市100多位數學教師踏著春天的氣息，匯聚一堂，共同享受知識的盛宴。　　周啟新老師著重於高考熱點壓軸題超越函數，將其多年豐富的沉澱循循善誘地講解，通過對兩種基本超越函數分別與x的乘積或作商所構造的六種超越函數圖像和性質介紹，讓我們清晰地發現每一種超越函數至少隱含兩類重要不等式
  • 超越函數的突破應對策略
    超越函數是指那些不滿足任何以多項式作係數的多項式方程的函數。說的更技術一些，單變量函數若為代數獨立於其變量的話，即稱此函數為超越函數。例如，對數函數和指數函數即為超越函數。超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、餘弦、正割、餘割、正切、餘切、正矢、半正矢等。函數的不定積分運算是超越函數的豐富來源，如對數函數便來自代數函數的不定積分。在微分代數裡，人們研究不定積分如何產生與某類「標準」函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。
  • 32個超越函數問題
    超越函數，指的是變量之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數，如三角函數、對數函數、反三角函數、指數函數就是超越函數。導數是研究超越函數問題的基本方法，下面是32個超越函數問題，與君盛夏共享。
  • 超越函數的圖像與性質1
    [引言]本文擬從高考應試的角度，詳細分析六大類常見超越函數的圖像與性質。
  • 這些常見超越函數圖像,你都掌握了嗎?
    讓分享成為習慣，把教研作為絕活，將學習進行到底一個努力中的公眾號長的好看的人都關注了超越函數是什麼超越函數是指那些不滿足任何以多項式作係數的多項式方程的函數.說的更技術一些，單變量函數若為代數獨立於其變量的話，即稱此函數為越超函數.
  • 高三學生必須熟悉的六個超越函數的圖像和性質
    高三學生必須熟知的六個超越函數的圖像和性質由函數y=x和y=e^x及y=lnx複合而成的六個超越函數分別是：Y=xe^x，y=x/e^x，y=e^x/x；這六個超越函數在高考導數壓軸題的解答中，會經常出現，作為高三學生，必須深刻理解和掌握這六個超越函數的圖像和性質。下面對這六個函數的圖像及性質做詳細歸納，願能幫助到高考複習備考中的莘莘學子。
  • ​高考數學公益課---壓軸題系列:超越函數的零點問題
    超越函數(Transcendental Functions)，指的是變量之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數.歐拉把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數（只有自變量間的代數運算）和超越函數（三角函數、對數函數以及變量的無理數冪所表示的函數），還考慮了「隨意函數」（表示任意畫出曲線的函數）.如三角函數、對數函數，反三角函數，指數函數，等就屬於超越函數.如y=arcsinx，y=cosx，它們屬於初等函數中的初等超越函數.
  • 基於CORDIC算法的32位浮點三角超越函數之正餘弦函數的FPGA實現
    關鍵詞： CORDIC；自定義指令；IEEE-754標準化處理引言浮點超越函數的應用領域十分廣泛，涉及航空航天、機器人技術、實時語音、圖像信號處理、濾波技術、FFT變換等領域。因此，設計並實現浮點三角超越函數是非常重要的。
  • 高考數學:高考創新壓軸題——新型超越函數的速解技巧!
    近期模擬題中出現了一些高頻必考的新函數類型，這類函數是以e^x或lnx為主體的運算型超越函數。出題位置往往在選擇或填空題的壓軸題位置，下面這類題的簡法概括如下：經典例題：[成都市高三一診理科第12題]思路分析：結合目標式的結構特徵，可採用整體代換法，轉換成一元二次函數，再運用韋達定理，根與係數的關係化簡計算。
  • 反函數定理和隱函數定理淺談
    最近複習了一下反函數定理和隱函數定理，有一些小小體會可以和大家分享一下。
  • 建哥指針數學:淺談如何學好高中函數
    建哥指針數學強調函數作為高中數學的重要一章,貫穿於整個高中數學,其地位非常重要。近幾年高考中所佔的比例基本保持穩定。為了做好今後函數知識複習工作,建哥指針數學給出以下幾個方面方便同學們進行準備:一、零敲碎打,逐個知識點琢磨,建立好函數模塊圖掌握好函數的相關基本概念
  • 證明e是超越數的前奏:e在一元三次方程中的情形
    既然是證明它的超越性，超越數顯著的特點就是它不是任意整係數代數方程的根，我們看帶入一元二次方程（早期的文章有更詳細的闡述和證明）化簡，最終得到整數+小數=整數的結論，這是不可能的，所以e不是任意任意整係數一元二次方程的根（INTEGER--整數。
  • MATLAB數組的常用函數
    3.1 函數數組運算規則的定義對於（m´n）的數組，函數的數組運算規則是指：也就是說函數的數組運算是指將函數作用於矩陣中的每一個元素，並將最後的結果儲存為與原矩陣行列數相同的矩陣。3.2 進行數組運算的常用函數本小節列出進行數組運算的常用函數。常用基本數學函數見表2-2，常用三角函數見表2-3，常用適用於向量的函數見表2-4。
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  • 特殊函數I:Bessel函數簡介(一)
    但是利用級數，我們能夠得到這種函數的一個比較易於觀看和分析的形式，亦即此種函數的非初等表達。因為具體地考慮到級數形式中的作為單獨通項的函數的形式的簡潔性，所以事實上，在數值分析和物理學等一些科學的研究中，使用函數的級數形式甚至比原函數本身都更加普遍。
  • 巧法得高分:導數壓軸題中含參超越型難題!年年必考,一招秒破!
    近五年，高考壓軸題中經常出現含參超越型導數壓軸難題！很多考生因繁雜的分類討論、冗長的計算不戰而退，解決這類題通常採用虛設零點的方法進行求解。其實，可以用放縮法，輕鬆破解這類含參超越函數的難點！思路分析：本題是超越不等式恆成立問題，求導後得到導函數為超越函數，若通過虛設零點，計算比較繁冗，若採用切線不等式lnx≤x-1進行加強放縮，則可將超越函數化為二次函數，極大簡化求解過程。
  • 證明e是超越數:e與一元三次方程的根的關係
    為了證明e不是超越數，上一篇文章《證明e是超越數：e不是任何整數系一元二次方程的解》討論得出：e不是非平凡整數系（係數均不等於0的整數）一元二次方程式的解，那e是否是一元三次方程的解呢？我們知道一元三次方程遠比一元二次要複雜的多，所以我們就從基本的知識入手看能得到什麼樣的結果。
  • 實變函數的入門簡介
    實變函數學十遍，比「彙編語言不會編」還是難很多的。至少我彙編就練得不錯:(但實變就只懂一點點，做那湯松大牛的課後題是白搭，但是在需要的時候拿來懟一下深度神經網絡DNN還是可以的（捂臉1，可數，可數是實變函數的入門核心概念，一般都會放在第一章的開頭。
  • Python基礎教程(一) - 函數和函數式編程
    什麼是函數函數是對程序邏輯進行結構化或過程化的一種編程方法。能將整塊代碼巧妙地隔離成易於管理的小塊，把重複的代碼放在函數中而不是進行大量的copy。前面使用過很多print()來進行列印，這是python提供的內建函數，你也可以自己創建函數，這叫做用戶自定義函數。創建函數你可以定義一個由自己想要功能的函數，用def語句來創建，標題行由def關鍵字，函數的名字，以及參數的集合（如果有的話）組成。