微積分終極公式——外微分

2021-01-14 小萬陪你學數學

 引言：本期介紹的公式可以與"歐拉公式"媲美。當讀者打開這個頁面時可不要被嚇壞了，本期內容其實只是個紙老虎。如果讀者還沒有學過曲線積分與曲面積分，可以暫且跳過這一期，學過之後一定（拉勾不許變）要記得回來看哦！你一定會被這篇文章的內容所震撼(trust me)!

(警告:前方即將出現大量LaTeX代碼)

         我將微積分中最出名的四大定理列舉如下：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

       這幾個公式一個比一個長，長得一個比一個複雜。乍一看它們似乎並沒有共同之處。我們來看這些公式各自的意義。第一個公式揭示了導函數 

       不難發現，撇開具體的積分類型(定積分、重積分、曲線積分、曲面積分)來看，這四個公式都展現了一個積分區域邊界上的某種積分與積分區域內部的某種積分之間的聯繫。由此我們就有了猜想：是否可以用一個統一的寫法，將這四個公式寫成統一的形式？這就是下面我們要解決的問題。

       相信大家都很熟悉向量的知識吧。我們給向量定義了很多運算，其中一個非常重要的運算是向量積。我們先來回顧向量積的定義和它的一些基本性質。熟悉的讀者可以直接看下面的Definition2。



 

 

（1）反交換律： 

（2）數因子結合律： 

  (3)分配律： 



 

 

（1） 

 

特別地， 

（2）數因子結合律： 

（3）三個微分的外積運算的結合律(這是向量積不具有的性質)，例如：

    

 

 

      


          現在，設P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是三個三元函數，我們稱三元函數是"0次微分形式"，稱形如 

 e.g.設有兩個微分形式 

solution：按property2中的性質展開有 

 

 

 

 

 

       


         最後，我們引入外微分運算d.

(I)設三元函數f(x,y,z)是一個0次形式，我們把d作用在f上得到 

(II)設1次形式 

 

 

這就得到了一個二次形式。（有沒有覺得很眼熟？）

(III)再設2次形式 

       


         下面就是見證奇蹟的時刻！

       我們把牛頓-萊布尼茨公式中的原函數F(x)記為w，並記D= 

 

         我們還可以把這個公式向高維空間推廣。可以證明，在更高維空間的黎曼流形上，依然有廣義斯託克斯公式 


參考文獻：《數學分析教程》(下) 常庚哲、史濟懷

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