回顧整個數學的發展史，每向前一步，都是那麼的艱辛坎坷和驚心動魄。為了數學的發展，數學家們耗盡了一生的心血，甚至為此付出了寶貴的生命。
「數系」的第一次具有劃時代意義的擴充，是將「無理數」納入「實數系」，希帕索斯為此付出了生命的代價。希帕索斯的發現是極為重要的，他第一次向人們揭示了「有理數系」的缺陷，也引發了人們對「連續統」概念的深度思考。
由於「實數系」是「連續統」的原型，因此，有時人們直接把「實數系」稱作「連續統」。
「連續統」概念的提出，成為了「微積分」思想最早的萌芽。
「連續統」的概念繼續擴充著，人們將由「點」組成的「線」稱為「一維連續統」，由「線組成的面」為「二維連續統」，由「面」構成的「空間」為「三維連續統」。
「第一次數學危機」的解決，極大地促進了數學的發展，直接引發了兩種後果，一方面，這次「危機」促使人們從以往的「依靠直覺和經驗」的思維方法向「依靠證明推理」的思維方法轉變，極大地推動了「公理幾何學」和「邏輯學」的發展，直接導致史詩級巨著《幾何原本》的誕生。另一方面，人們開始普遍認為由「算術」推導出來的結論遠遠沒有「幾何」推導出來的結論嚴謹，因而走上了「輕算術」重「幾何」的道路，直接導致了「數系」的擴充陷入了長久的停滯。
但是離開了「算數」的「幾何學」，最終無法解釋像x+1=0這樣一個最簡單的「二次方程」為什麼在整個「實數範圍」找不到解。人們開始意識到「幾何」與「代數」都是重要的，二者都不可偏廢。
1637年，大數學家笛卡爾發明了「平面直角坐標系」，第一次將「幾何」與「代數」相結合，創立了具有裡程碑意義的「解析幾何學」。
「解析幾何」在代數與幾何之間架起了一座橋梁，從此以後，「幾何」概念用「代數」來表示，「代數」也可以用「幾何」形式來表示。人們從此不必再糾結到底是「幾何」重要還是「代數」重要的問題了。
同年，笛卡爾在其《幾何學》中第一次提出了「虛數」的概念。笛卡爾之所以取名為「虛數」，就是與「實數」相對應。在當時的笛卡爾看來，「虛數」其實是一個不存在的數。虛數被提出之後的很長一段時間裡，包括萊布尼茲、歐拉等大數學家在內的學術權威，都不承認「虛數」有實際意義。
縱觀整個數學的發展史，從每一個新的概念的提出到被廣泛的承認，其過程都是漫長而艱辛的。「虛數」的提出也不例外。
如果說「無理數」的誕生之初還有希帕索斯堅信它的存在，並且為追求真理而付出生命。那麼「虛數」在剛誕生之時，沒有任何人認為它有實際的意義。在那個「負數」本身的意義都令人懷疑的年代，「負數的平方根」就顯得更加荒唐。因為實際生活中根本無法找到可以用「虛數」來表達的量。那時的人們普遍認為「負數的開方」是沒有任何意義的，就如今天的「一個數除以零」沒有意義一樣理所當然。
直到笛卡爾發明「直角坐標系」之後，他猛然發現，虛數a+bi的實部a可對應平面上的「橫軸」，虛部b可以對應平面上的「縱軸」，這樣虛數a+bi可與平面內的點(a,b)對應。這時人們發現，「虛數」並不「虛」，它與「橫軸」上的「實數」一樣真實。
於是，人們給「虛數」重新定義：將「偶指數冪是負數的數」定義為「純虛數」，表示為i^2=-1。同時給出這樣的定義：「虛數」不存在「算術根」，既沒有「正負」也不能比較大小，「實數」和「虛數」組成的一對數命名為「複數」，在「複數範圍」內看成一個數，它的表達式為：a + bi。其中實數a和b分別被稱為複數的「實部」和「虛部」。
挪威測量學家維塞爾提出把複數a+bi用「平面上的點」來表示，後來高斯又在此基礎上提出了「複平面」的概念，從此，複數終於在「近代數學大廈」中佔據了一席之地。
在今天，複數在「水利學」、「地圖學」、「航空學」中有著非常廣泛的作用，「虛數」的地位也越來越重要。
「虛數」被發現的意義是重大而深遠的，它是今天「量子力學」直接的理論基礎，最終引發了「電子學」革命。人們都說：如果人類真的錯過了「虛數」，那麼就不可能誕生「量子力學」，那麼21世紀的「自然科學」將失去其最根本的支柱，無法再繼續下去。