已知邊和角的式子求a+c的取值範圍?抓住這類題型思路,要知這些

2021-01-11 玉w頭說教育

原題

原題：在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC，√3sinB+cosB=2，則a+c的取值範圍是？

圖一

那這道題該如何解決呢？給出了邊和角的關係式cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC的時候，我們普遍的思路就是將邊和角關系統一。

一般情況下都是將這個關係式中的角都化成邊的形式，經過整理得出關於邊的關係。

將cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC轉化成只有邊的形式

在三角形中，想要將某個邊和角進行轉化，一般都需要藉助於正弦定理和餘弦定理。

根據餘弦定理b^2=a^2+c^2－2accosB，所以有cosB=(a^2+c^2－b^2)/2ac；c^2=a^2+b^2－2abcosC，所以有cosC=(a^2+b^2－c^2)/2ab。

根據正弦定理a/sinA=c/sinC，所以sinA/sinC=a/c。

所以cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC變形為(a^2+c^2－b^2)/2abc+(a^2+b^2－c^2)/2abc=2√3a/3c，進一步整理a/bc=2√3a/3c，整理得到b=√3/2。

所以邊和角的關係式，即cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC只是間接地給出了b的長度。

圖二

這是對於給出邊和角的關係的轉化的情況，那對於給出√3sinB+cosB=2隻有角的情況該怎麼辦呢？

對於只給出角之間的關係式的時候，都是將角變成一個函數值的形式。

將角之間的關係式進行轉化

對於只給出關於角的關係式時，我們還要看是一個角的不同函數值還是不同角的函數值的關係式。

對於只有一角的不同函數值關係式的時候，我們只需要根據三角函數的積化和差公式將這個角的不同函數值變成一個函數值的情況即可；

對於不同角的不同函數值的關係式的時候：第一步，根據三角形內角和為180度或者根據題中給出的角的度數，以及三角函數的誘導公式將不同角化成同一個角的不同函數值；第二步，根據三角函數的積化和差公式將其化成一個三角函數值的情況。

根據上述的方法就可以將關於角的關係式轉化成同一個角的同一個三角函數值的形式，從而得出角的大小或者角的範圍。

將√3sinB+cosB=2變形得到2(√3/2·sinB+1/2·cosB)=2(cosπ/6·sinB+sinπ/6·cosB)=2，所以有sin(B+π/6)=1（註：這裡將實數值變成三角函數的形式是轉化同一個三角函數值時解題的基礎，需要掌握的內容），又因為三角形ABC是銳角三角形，所以0<B<π/2，所以得到B=π/3.

圖三

所以根據角的關係式變形後又得到角B的值。

題中給出的已知都已經進行的轉化，也得出了邊b的長度和角B的度數，那如何求解a+c的取值範圍呢？

要想求出a+c的取值範圍，要將a+c轉化成角的形式，根據其相關角的範圍求出a+c的範圍，因為題中給出的三角形都是銳角三角形，給出了角的範圍，但是並沒有給出關於邊的範圍。

a+c轉化成角的形式再求範圍

如何將a+c轉化成角的形式呢？

依然根據正弦定理a/sinA=c/sinC=b/sinB=√3/2/sinπ/3=1，則有a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC。

sinA+sinC是不同角的函數值情況，所以將不同角向同一個角進行轉化。

因為角B=π/3，所以∠A+∠C=π－π/3=2π/3，所以sinA+sinC=sinA+sin(2π/3－A)。

再根據三角函數的積化和差公式，則有

sinA+sinC=sinA+sin2π/3·cosA－cos2π/3·sinA

=sinA+√3/2·cosA+1/2·sinA

=√3/2·cosA+3/2·sinA

=√3(1/2·cosA+√3/2·sinA)

=√3(sinπ/6·cosA+cosπ/6·sinA)

=√3sin(A+π/6)。

所以只需找到√3sin(A+π/6)的取值範圍就可以得到a+c的取值範圍。

因為三角形ABC是銳角三角形，所以0<∠A<π/2，0<∠C<π/2，所以0<2π/3－∠A<π/2，解得出π/6<A<π/2，所以π/3<A+π/6<2π/3，所以√3sin(A+π/6)∈(3/2,√3).

所以a+c的取值範圍為(3/2,√3)。

圖四

總結

對於給出的三角函數的題，如果給出的式子是有邊有角的，一把情況下都是將該式子中的邊和角進行統一化成邊或者角的形式；如果給出的式子是只有角的情況，一般都是通過變形將其化成同一個角同一個三角函數值的情況。

邊和角的轉化一般都是運用正弦定理和餘弦定理；將不同角轉化成同一個角或者將不同三角函數轉化成同一個三角函數的時候，一般都是使用三角函數的誘導公式或者使用積化和差公式。

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