質變數學
曾大江著
序質變數學革命
面對充滿矛盾和質變現象的無垠的宇宙，數學總是躲在演繹的、量變的角落孤芳自賞。無限是吞噬數學的深淵，矛盾是囚禁數學的夢魘。1872年之前數學都在逃避無限，2003年之前數學都在躲避矛盾。數學是一個極端因循守舊的學科。從公元前520年到公元1684年，數學都在迴避無理數和無限的概念。從1545年到1777年，數學都在拒絕虛數。從公元前460年到公元1872年，數學都在迴避無限集的問題。從1684年到1931年，數學都在追求無矛盾性和完備性。18世紀之前，數學是不嚴密的和直觀的數學。18世紀之後，數學才逐漸發展為嚴密的和抽象的數學。20世紀以來，數學逐漸發展為以公理集合論為主體基礎的集論數學。2003年之前，數學是基於演繹邏輯的量變數學，無法處理矛盾問題和質變問題，對於無窮大和無窮小的處理晦澀難懂且不實用。2003年曾大江開始逐漸建立基於矛盾邏輯的質變數學，直接處理矛盾問題和質變問題，簡單直接地量化無窮大和無窮小。演繹邏輯只是矛盾邏輯的無矛盾局部。量變數學只是質變數學很小的一部分。
在人類數學的發展過程中，已經出現四個大瓶頸和多個小瓶頸。人類數學第零個大瓶頸是「3」的瓶頸。雖然沒有直接的考古證據，但是人類可能在300萬年前就產生了「1」和「2」的概念，但直到10萬年前才產生「3」的概念，最遲在3萬年前產生「3、4、5」的概念。非洲的一些原始部落直到現在也只有「1」和「2」的概念，對於大於2的情況統稱為「多」。由此可見，從「1」和「2」到「3」是一個艱難的跨越。
人類數學第一個大瓶頸是無理數瓶頸。公元前約520年畢達哥拉斯學派的希帕蘇斯發現無理數。與基督教害怕「日心說」類似，畢達哥拉斯學派害怕無理數。與「日心說」摧毀了基督教「地心說」的世界觀類似，無理數的發現摧毀了畢達哥拉斯學派「萬物皆數」的信條。與宣揚「日心說」的布魯諾被宗教裁判所燒死在羅馬鮮花廣場類似，發現無理數的希帕蘇斯被畢達哥拉斯學派的人扔進了大海。直到17世紀，數學界才廣泛接受無理數的概念。1872年戴德金建立實數理論後，無理數被認為「無理」的時代才終結。由此可見，無理數瓶頸耗時2400年才最終突破。
人類數學第二個大瓶頸是無限瓶頸。公元前約460年芝諾提出一系列關於有限和無限的悖論，使數學家無法解釋。17世紀之前，數學界都一直在迴避和排斥無限的概念。1684年牛頓和萊布尼茨用無窮小的概念建立微積分之後，無限概念的爭論更加激烈，但無限仍然是吞沒數學思想的深淵。1821年之後，柯西和魏爾斯特拉斯逐步建立極限論，才使無限的概念得到初步認識。由此可見，無限瓶頸耗時2300年才初步突破。
人類數學第三個大瓶頸是無限集瓶頸。公元前500年人類就開始使用集合的概念，但是無限集常常產生與常識相悖的結論。因此，19世紀之前，數學界一直都在迴避無限集的問題。1872年康託爾建立樸素集合論，提出無限集和超限數的概念，遭到強烈的反對和粗暴的公開攻擊，於1884年發生第一次精神崩潰。樸素集合論在1897年的第一屆數學家大會上得到公開承認。康託爾於1895年發現最大序數悖論，1899年發現最大基數悖論，使樸素集合論的爭議更大。1901年羅素提出羅素悖論，給樸素集合論以毀滅性打擊。1908年策梅洛和弗蘭克爾開始建立公理集合論。1918年康託爾在哈雷精神病院去世。1931年哥德爾提出不完備性定理後，數學不再苛求完備性和無矛盾性，數學才發展為以公理集合論為主體基礎的集論數學。公理集合論是不完備的，不能證明自己的無矛盾性，也不能判定大量命題的真偽，但可以作為大多數數學分支的基礎。公理集合論初步解決了無限集的問題。由此可見，無限集瓶頸耗時2400年才初步突破。
人類數學在發展過程中遇到的小瓶頸不勝枚舉。人類在公元前3400年發明十進位，在公元前2000年發明六十進位，但是直到公元前400年才產生「0」的概念，公元100年才產生「負數」的概念。人類在1545年就發現一元三次方程的通解，但直到1777年才接受「虛數」的概念。由此可見，突破「0」、「負數」和「虛數」的瓶頸也耗時數百年到數千年之久。
人類數學的發展既漫長又曲折，人類數學的進步實際上是非常緩慢的。無限分割和極限的思想在公元前700年就已經萌芽，但直到公元1684年人類才發明微積分。數學的公理化實際上在1800年之後才開始。人類在公元前3400年就開始大量使用自然數，但直到公元1889年人類才提出皮亞諾自然數公理。雖然歐幾裡得幾何在公元前300年就已經完成直觀的公理化，但是1826年羅巴契夫斯基幾何和1854年黎曼集合的誕生才突破歐幾裡得幾何的牢籠，使得幾何得以抽象的公理化。公元前500年人類就開始使用集合的概念，直到1908年人類才開始建立公理集合論。
曾大江認為人類數學最大的瓶頸是矛盾和質變的瓶頸。雖然人類數學不再苛求完備性和無矛盾性，但是數學仍然對質變現象視而不見，仍然在躲避矛盾。幾乎所有人都仍然頑固地認為矛盾和質變現象不是數學的研究範圍，數學也不應該直接處理矛盾問題和質變問題。公元前700年以來，哲學對於有限、無限、量變、質變、演繹和矛盾等問題總是進行統一的思考，而公元1872年之前數學都在逃避無限，只進行有限、量變和演繹的思考。1872年到1908年，數學對無限的思考也是猶抱琵笆半遮面。1908年之後數學才開始對無限進行毫無顧忌的思考。曾大江認為數學必須對有限、無限、量變、質變、演繹和矛盾等問題進行統一的思考，必須直接處理矛盾問題和質變問題。因此，曾大江從2003年開始逐漸建立基於矛盾邏輯的質變數學。
曾大江認為質變數學是一個偉大的數學革命。曾大江的原創著作《質變數學》由矛盾集合論、質變數論、質變分析、質變代數、複雜質變和矛盾邏輯六個部分構成，奠定質變數學的基礎，實現質變數學革命，敬請見證。
（註：曾大江按照「研發一版，儲備一版，發布一版」的原則，在完成《質變數學-3.0版》後，開始發布《質變數學-1.0版》。《質變數學-1.0版》於2008年12月完成，《質變數學-2.0版》於2014年10月完成，《質變數學-3.0版》於2020年4月完成。由於曾大江的《質變數學-3.0版》已經於2020年4月完成，所以曾大江於2020年5月開始發布《質變數學1.0版》。本文是《質變數學1.0版》，含有一些錯誤，但為了保持1.0版的完整性，這些錯誤沒有糾正。在2.0版和3.0版中，讀者可以看到1.0版的錯誤的糾正和更多原創性的內容。）
第一卷矛盾集合論
矛盾邏輯比較複雜。曾大江本著由淺入深的原則，先論述最簡單的矛盾集合論。在論述矛盾集合論之前，先簡單介紹一下已有的八種典型的集合論。
第一節八種集合論
（註：曾大江按照「研發一版，儲備一版，發布一版」的原則，在完成《質變數學-3.0版》後，開始發布《質變數學-1.0版》。《質變數學-1.0版》於2008年12月完成，《質變數學-2.0版》於2014年10月完成，《質變數學-3.0版》於2020年4月完成。由於曾大江的《質變數學-3.0版》已經於2020年4月完成，所以曾大江於2020年5月開始發布《質變數學1.0版》。本文是《質變數學1.0版》，含有一些錯誤，但為了保持1.0版的完整性，這些錯誤沒有糾正。在2.0版和3.0版中，讀者可以看到1.0版的錯誤的糾正和更多原創性的內容。）
集合是一個不加定義的原始概念。集合是確定的可區分的對象的總體。這不是集合的定義，而是對集合這個概念的說明。通過給定不同的公理可以提出成千上萬種集合論。本節對八種典型的集合論進行簡單的介紹。八種典型的集合論的簡單對比如下：
樸素集合論含有矛盾，但無法處理矛盾。排除集合論、策梅洛集合論、策梅洛-弗倫克爾集合論、奎因集合論和T型論都在逃避矛盾，即通過各種方式把樸素集合論中會導致矛盾的那些集合排除在集合論之外，從而實現無矛盾（實際上可能存在矛盾，只是沒有發現而已）。諾伊曼-哥德爾-伯奈斯系統在本質上是用「概念質變」的方式來處理矛盾，即把樸素集合論中會導致矛盾的那些集合定義為真類（導致矛盾的集合「質變」為了真類），規定真類既不能作為真類的元素，也不能作為集合的元素，從而實現無矛盾。曾大江提出的時間集合論也是用「概念質變」的方式來處理矛盾，即把矛盾定義為時間，一旦產生矛盾就定義為產生了時間。已有的集合論都沒有直接處理矛盾，而矛盾集合論將直接處理矛盾。