在數學聖地哥廷根，與19世紀的其他人相比，希爾伯特或許更敏銳地嗅到了黎曼帶來的一場數學巨變。黎曼意識到，探索及理解數學世界的法則和規律，比專注於公式和繁瑣的計算收穫更豐。黎曼在數學界發起了一場「文藝復興運動」。到了希爾伯特那一代，這種思想成為了主旋律。1897年，希爾伯特寫道：他希望奉行黎曼一貫遵循的原則，即證明的動力在於主動思考而非被動計算。在接力黎曼引領的數學革命中，希爾伯特以極具革命性的精神和洞見提出的問題對20世紀數學產生了深遠影響。他就像一個數學魔笛手，笛聲一起，眾人往之。
本文選自《悠揚的素數》（人民郵電出版社，2019年9月）。該書以生動細膩的筆觸，將素數的故事娓娓道來，讀者無須具備數學專業背景也可領略數學之美，且能近距離體會數學家的心路歷程，以及他們之間競爭與合作的複雜關係，從而對數學家這一群體有更深刻的了解。
撰文 | Marcus du Sautoy（牛津大學數學教授）
翻譯 | 柏華元
普魯士的首府柯尼斯堡鎮，因「柯尼斯堡七橋問題」（歐拉在1735年解決了這個難題）而在18世紀聞名於數學界。到了19世紀後期，這個小鎮在「數學地圖」上重振聲威，因為這裡誕生了一位20世紀的數學大咖，他就是大衛·希爾伯特。
希爾伯特（1862-1943）
希爾伯特熱愛自己的家鄉，並看到在哥廷根城牆內，數學之火燃燒得最為劇烈。因為擁有高斯、狄利克雷、戴德金和黎曼這樣的數學大師，所以哥廷根儼然成為數學界的朝聖之地。也許與當時的其他人相比，希爾伯特更敏銳地嗅到了黎曼帶來的一場數學巨變。黎曼意識到，探索及理解數學世界的法則和規律，比專注於公式和繁瑣的計算收穫更豐。數學家們開始以一種新方式來聆聽數學「管弦樂」。他們不再拘泥於單個音符，而是開始注意尋找隱藏在研究對象背後的音樂之聲。黎曼在數學界發起一場「文藝復興運動」。到了希爾伯特那一代，這種思想就成為了主旋律。1897年，希爾伯特寫道，他希望奉行黎曼一貫遵循的原則，即證明的動力在於主動思考而非被動計算。
希爾伯特因此在德國學術圈佔據了一席之地。孩提時他就了解到，古希臘人已經證明，要想儘可能生成所有數字，就需要無窮多個素數。上學時他就猜測，如果將數字換成方程的話，結果似乎就大不相同了。究竟如何證明，和素數相比，只有有限的方程才可用來生成某些有無窮多解的方程組？這成為19世紀末的數學家面臨的一大挑戰。和希爾伯特同時期的其他數學家，嘗試通過構建方程這種費時費力的方法來攻克這個難題。希爾伯特卻證明，這些有限的方程必然存在，即使他無法構建出這樣一組方程。這一觀點震驚了當時的數學界。當看到高斯輕而易舉地算出1 ～ 100的所有數字之和時，高斯的老師臉上露出懷疑的神情，第一反應是「他作弊了」。同理，希爾伯特的導師也心生懷疑：這個方程理論是不是來得太容易了？
這對當時的正統派數學理論來說可是個不小的挑戰。如果無法看到有限的列表，就很難接受它的存在，即使有確鑿證據支持它的存在也是如此。對於那些仍固守法國數學傳統——數學基於方程和顯式公式——的數學家來說，是很難從心理上接受這樣一種觀點的：有些東西看不見，但確定無誤就在那兒。保羅·戈爾丹是該研究領域的專家，他這樣評價希爾伯特的發現：「這不是數學，這是神學。」希爾伯特依然堅守著自己的陣營，即使那時候他只有二十幾歲。最後數學家們終於承認，希爾伯特是對的，就連戈爾丹也妥協讓步了。戈爾丹如此說道：「我相信，就算神學也有可取之處。」在此之後，希爾伯特開始研究起數字來，他將那些數字形容為「一座難得集美與和諧於一身的建築物」。
1893年，德國數學學會邀請希爾伯特寫一份關於數論在19世紀末發展情況的報告。這對一個剛剛三十出頭的年輕人來說是一項艱巨的任務。一百多年前，這門學科甚至都沒形成一套完整的體系。高斯於1801年出版的《算術研究》一書開闢了數論這片沃土，因此到了19世紀末，「數論之花」才綻放得如此熱烈，甚至已有生長過剩之勢。為了使這個學科的發展步入正軌，希爾伯特的舊識赫爾曼·閔可夫斯基加入到他的陣營。他們在柯尼斯堡讀書時就認識了。閔可夫斯基在數論上成績斐然，18歲時就斬獲了數學科學大獎。他十分樂意從事數論研究工作，因為他相信，這會使他聆聽到這種「強大音樂的主旋律」。閔可夫斯基的加入，點燃了希爾伯特對素數的研究熱情。閔可夫斯基宣稱，在他們的聚光燈下，素數會一下子就搖曳生姿起來。
閔可夫斯基（1864-1909）
希爾伯特的「神學」為他在歐洲數學界贏得了一席之地。1895年，菲利克斯·克萊因教授向他拋來了橄欖枝，來信希望他在哥廷根大學任教。希爾伯特二話不說，欣然接受了邀請。在討論聘用希爾伯特一事的大會上，其他教職工都對克萊因的力挺表示質疑，都紛紛猜測他是不是招來了一個毫無立場的跟班兒。克萊因向他們保證，希爾伯特絕不是那類人。他說道：「我已經問過最難相處的人的意見了。」 就在那年秋天，希爾伯特只身前往那座小鎮，他的靈魂導師黎曼就曾在那裡任教。他希望自己能進一步推動那場數學革命。
不久，教職工們就意識到，希爾伯特並不滿足於挑戰數學正統。這個新同事的行為做派令那些數學家的妻子們大開眼界，震驚不已。其中一個人這樣寫道：「他簡直就是來攪局的。我聽說，有一天晚上，有人看見他在餐廳的後廚和學生們打撞球。」日子一天天過去，希爾伯特在哥廷根贏得了一些女士的芳心，其大眾情人的名聲也因此流傳在外。在他舉辦的50歲生日宴會上，學生用字母表的每個字母代表一位被他徵服的女士，以此為歌詞，為他演唱了一首歌曲。
這位瀟灑不羈的教授還買了一輛自行車，這讓他更紅了。經常有人看到他騎車穿過哥廷根的街道，為他的情人帶上一束自己從花園裡採摘的鮮花。他講課時，衣著隨便，只穿襯衫，不穿外套，這在當時是聞所未聞的。在寒冷的食堂裡，他會向前來就餐的女士借用毛圍巾來保暖。希爾伯特是故意引來爭議，還是僅僅為了獲得解決所有問題最直接的答案，就不得而知了。不過，有一點可以肯定，那就是他花在數學問題上的心思比在社交上多得多。
希爾伯特在院子裡架了一塊20英尺長的黑板。除了照顧花圃和自行車炫技之外，其餘的時間他就在黑板上演算數學問題。他特別喜歡聚會，經常將留聲機的最大唱針放到唱片上，大聲播放音樂。在終於聽到恩裡科·卡魯索[譯者注] 的現場演唱後，他相當失望，說：「卡魯索演唱用的唱針太小了。」不過，與希爾伯特在數學上取得的成就相比，這些小怪癖無足輕重。1898年，他將研究方向從數論轉到了幾何學上。他對一些數學家在19世紀提出的新幾何學大感興趣，這些數學家宣稱其違背了古希臘人提出的一條基本幾何公理。他堅信抽象數學有種看不見的強大力量。因此，一個物體有何物質實體，是無關緊要的；而物體間有何關係，才是至關重要的。他開始研究起隱藏在那些新幾何問題背後的抽象結構和關係來。希爾伯特曾經宣布，如果用桌、椅、啤酒杯來分別代替點、線、面的話，這些幾何理論依然行得通。這使他一時聲名大振。
早在一個世紀前，高斯就想到了這些新幾何學帶來的挑戰，但是他並沒有將這些非正統的想法公之於眾。想必古希臘人是不可能出錯的吧。但是，他已經開始質疑歐幾裡得提出的一條基本幾何公理，即關於平行線的存在問題。歐幾裡得曾經考慮過這樣一個問題：給出一條直線和線外一點，通過該點可以畫出多少條直線與原有直線平行？對歐幾裡得來說，答案似乎是顯而易見的，就是有且只有一條直線。
16歲的高斯開始推測，可能有這樣一種幾何學，其中不存在平行線這樣的幾何圖形。除了歐幾裡得的幾何學，以及這樣一種不存在平行線的新幾何學外，還可能有第三類幾何學，其中可能存在不止一條平行線。如果真是那樣的話，那麼對於這種幾何學來說，三角形內角和就不再是180°，這是希臘人不敢想像的。如果真的存在這樣的新幾何學，那麼高斯想知道的是，到底哪種才能最完美地描繪現實世界。古希臘人堅信，他們創建的模型以一種數學方法描述了現實世界。但是高斯根本不能確定古希臘人的這種觀點是對還是錯。
在之後的歲月裡，當對漢諾瓦王國進行地形勘測時，高斯利用對哥廷根採用的測量方法來驗證由三處山頂投射下來的光束構成的三角形，其內角和是否不等於180°。高斯認為光線在傳播路徑中會發生偏折。或許，在三維空間發生的彎曲和地球表面的二維圖一樣。他想到了所謂的大圓，例如經度線，是地球表面兩點之間最短的路徑。對這樣的二維幾何而言，不存在平行經度線，因為所有的經度線都會相交於極點。之前沒人想到過在三維空間中會發生彎曲的情況。
現在我們意識到，高斯觀察到的任一重大的空間彎曲，在歐幾裡得開闢的幾何世界面前只不過是「蚍蜉撼大樹」，僅觸及其一點皮毛罷了。阿瑟·愛丁頓在1919年日食期間，通過實驗觀察到星光會發生彎曲，這極大地支持了高斯的直覺。高斯從來沒有將其觀點公之於眾，或許因為他提出的新幾何學似乎不符合數學的一貫使命，即表現物質實體。即使向他的朋友透露過此事，高斯也要他們承諾會對其守口如瓶。
到了19世紀30年代，高斯提出的新幾何學終於出現在公眾視野裡，這得益於俄羅斯數學家尼古拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基和匈牙利數學家亞諾什·鮑耶。高斯發現的這種非歐幾何，並沒有像高斯擔心的那樣在數學界掀起軒然大波，只是因為其太過抽象而被棄之如敝履。
這種學說就這樣沉寂了多年。然而，到了希爾伯特時期，這種學說開始登上數學舞臺，以一種更加抽象的方法完美地描繪數學世界。
一些數學家聲稱，任何不滿足歐幾裡得平行線假設的幾何學，必定存在某些內在矛盾，而這種內在矛盾會導致該幾何學的體系瓦解。希爾伯特在探究這種可能性的過程中，發現非歐幾何和歐氏幾何之間存在強邏輯關係。他發現，當非歐幾何存在矛盾之處時，歐氏幾何也存在這種矛盾。這也算取得了一定進步吧！當時的數學家們認為，歐氏幾何是邏輯自洽的。希爾伯特的發現表明，非歐幾何也一樣。兩種幾何學，一損俱損。但是之後，希爾伯特發現了一個令人不安的事實：沒有人可以真正證明歐氏幾何沒有內在矛盾。
希爾伯特開始研究，如何來證明歐氏幾何是邏輯自洽的。儘管兩千多年來沒人發現歐氏幾何有什麼內在矛盾，但也不能說不存在矛盾之處。希爾伯特要做的第一件事就是從公式和方程上重新解釋幾何學。笛卡兒創立了解析幾何，為18世紀的法國數學家廣泛接受。利用公式來描述點線關係，可以將幾何簡化成算術，因為幾個數字就可以表示坐標系裡的一個點。數學家們相信數論不存在矛盾之處。因此，希爾伯特希望藉助將幾何替換成數字的方法，解決歐氏幾何是否存在矛盾這一問題。
然而，還沒等他找到以上問題的答案，希爾伯特就發現了一個令人更加不安的事實：沒有人能真正證明數論本身不存在矛盾之處。對希爾伯特來說，這真是當頭一棒。數個世紀以來，無論從理論上還是從實踐上，數學家們在運用數論的過程中，都沒有發現什麼內在矛盾，因此逐漸將其視為金科玉律。「勇敢向前，信念與你同在。」這是18世紀的法國數學家讓·勒朗·達朗伯對那些質疑「數學的基礎」的人們給出的有力回答。數字之於數學家，好比有機體之於生物學家，都是真實存在的。數學家樂此不疲地藉助這些假設（而他們都認為這是不證自明的數字真理）進行推理。從沒有人想過，這些假設可能存在矛盾之處。
希爾伯特的研究時進時退，現在他不得不對「數學的基礎是什麼」提出質疑。這麼重要的問題，一旦提出就不可能置之不理了。希爾伯特本人相信其中還沒發現任何矛盾之處，而數學家們也能證明該學科根基深厚、堅不可摧，從而驅散懷疑的陰雲。希爾伯特發出的質疑之聲，標誌著一個數學新時代的來臨。19世紀見證了數學的發展歷程，它不再充當其他科學的工具，而是成為一門探索理論、追求真理（這類似於出生於普魯士王國柯尼斯堡的伊曼努爾·康德秉承的哲學思想）的獨立學科。希爾伯特對「數學的基礎」這一問題的思考，給了他一個機會來從事抽象數學這項新實踐。他提出的新方法將使他在20世紀聲名鵲起。
在1899年即將接近尾聲時，一個絕好的機會擺在希爾伯特面前，他終於可以向世人描述這樣一幅畫面：他提出的新思想將會給幾何學、數論和數理邏輯帶來怎樣翻天覆地的變化。他收到一份來自國際數學家大會的邀請，希望他明年能去巴黎參會，並在會上發表重要演講。對於一個不滿40歲的數學家來說，這是無上的榮譽。
如此重大的場合，演講稿要涉及什麼內容呢？希爾伯特一下子犯了難。一篇好的演講稿既要做到令人耳目一新，又要合乎時宜。這是毋庸置疑的。一個想法突然浮現在希爾伯特的腦海裡：能否在演講中暢想、展望數學的未來呢？他開始就這一想法徵求朋友們的意見。要知道，這在當時是相當不同尋常的做法，且違背了那條不成文的規定：只有完整的、系統化的思想，才能公開發表。摒棄由那些公認定理構築的安全屏障，而去暢想不確定的未來，這是需要極大勇氣的。但是，希爾伯特從來不懼爭議。最後，他決定帶著那些尚未得到證明的問題，去挑戰數學界的傳統觀念。
然而他心裡也未免打起了鼓：在這樣的場合，發表這樣一種前衛的演講，是明智之舉嗎？或許他也應該隨波逐流，講講他取得的研究成果，而不是那些他還沒有完全解決的問題。由於拖延，他錯過了提交演講報告題目的最後期限。因此，他的名字並沒有出現在第二屆國際數學家大會的演講者名單上。到了1900年夏天，朋友們都擔心他就要與這個展現自己想法的絕佳機會失之交臂了。但是有一天，他們都在辦公桌上發現了希爾伯特的演講稿。「數學問題」這幾個大字，赫然出現在他們面前。
希爾伯特相信，問題是數學的命脈，而問題的選擇更要慎之又慎。他寫道：「一個數學問題要夠難，才能引起我們的關注；但是又不能太難，難到完全高不可攀，反過來嘲笑那些徒勞無功的人們。它要能指引著我們穿過一條條迷宮般的路徑，尋找隱藏其中的真理，並能讓我們在最終得到答案後品味成功的喜悅。」他所提出的23道難題，都是按照這一嚴苛標準精挑細選出來的。8月的巴黎大學酷暑難耐。希爾伯特在演講中向數學探索者們提出了新世紀即將到來的挑戰。
19世紀末期，一位傑出的生理學家埃米爾·杜布瓦- 雷蒙發起了一項哲學運動：我們對自然的認識具有局限性。這在許多研究領域都產生了巨大影響。哲學圈裡的一個流行語就是，「我們現在不知道，將來也不會知道」。但是希爾伯特在新世紀的願望就是將這類悲觀論調一掃而空。他在介紹完23道數學難題後，發出一聲令人熱血沸騰的吶喊：「要相信，每個數學問題都是可以解決的。這種信念，對數學工作者來說，是一種莫大的動力。我們聽到，有一種聲音在不停呼喚：問題就在那兒，等著人們去追尋答案。你一定能找到答案，這是因為，對於數學來說，沒有什麼是不可知的。」
希爾伯特為新世紀數學家設置的難題，體現了黎曼的數學革命精神。希爾伯特列出的前兩個問題，就涉及那些一直困擾著他的基本問題，而其他問題則覆蓋數學圖景的方方面面。有些是開放式的，而不是理應有明確答案的問題。其中一個問題還涉及黎曼的夢想，那就是物理學的基本問題最終只能用數學來解決。
第五問題源於黎曼秉承的信念：數學的不同分支，不論是代數、分析還是幾何，都是緊密相連的，不能將它們分離開來，只去理解某一分支。黎曼展示了方程的幾何性質可以用這些方程定義的幾何圖形推斷出來。數學上有這麼個說法：代數和分析必須對幾何敬而遠之，因為幾何會使人誤入歧途。要想打破這個教條的禁錮，是需要一些勇氣的。這也是諸如歐拉和柯西之類的數學家為什麼會如此反對利用圖形來描述虛數的原因。對他們而言，虛數就是諸如x^2 = - 1 之類方程的解，無須再增加令人迷惑的圖形了。但是對黎曼來說，這些學科之間顯然是有聯繫的。
在宣布23道難題之前，希爾伯特提到了費馬大定理。儘管那時的公眾普遍認為，這個問題是數學史上一個偉大的未解之謎，可奇怪的是，在希爾伯特列出的問題中，這個問題卻未佔一席之地。在希爾伯特看來，這樣一個極為特別而又明顯無足輕重的問題，對科學可能會有種激勵效應。費馬大定理就是這樣一個鮮明例子。高斯也持相同的觀點。他宣稱，人們可以選擇一系列其他方程，並詢問這些方程是否有解。費馬選擇的方程則並沒有什麼特別之處。
希爾伯特從高斯對費馬大定理的批評中獲得靈感，提出了第十問題：是否存在一種算法（類似於計算機軟體那樣的數學程序），可以在有限的時間內判斷出一個方程是否有解？希爾伯特希望這個問題能將數學家的注意力從具體問題轉向抽象問題。高斯和黎曼是他的榜樣。他們為素數研究開闢了一個新視角。從此，數學家們不再拘泥於研究一個特定數字是否為素數，而是專心去聆聽流過所有素數的音樂。希爾伯特希望他提出的這道方程問題也能產生這樣的影響。
在希爾伯特結束演講後，儘管一位與會記者用「凌亂」來形容當時的場面，不過這更多指的是8月當地糟糕的天氣，而不是指希爾伯特的演講在數學界反響平平。正如希爾伯特的好友閔可夫斯基評價的那樣：「毫無例外，世界上所有的數學家都會閱讀你的演講稿。到時候，你對年輕數學家的吸引力就更大了。」希爾伯特敢於打破常規，發表這樣一篇演講稿，這使其成為20世紀新數學思想的奠基人。閔可夫斯基相信，這23個問題的提出，將會對國際數學界產生巨大影響。他對希爾伯特說：「你真的觸及了20世紀所有的數學問題。」 他的話果然成真了。
在希爾伯特列出的眾多開放式問題中，有一個與眾不同，它就是第八問題：證明黎曼假設。一次採訪中希爾伯特談到，他相信黎曼假設絕對會成為數學史上最重要的問題。在此期間，曾有人向他請教：未來最偉大的科技成就是什麼？他幽默地答道：「是到月球上去抓蒼蠅啊。因為要實現這一目標，必須解決一系列連帶的技術難題。這意味著要克服人類面臨的幾乎所有物質困難。」這種分析極富見地，展望了20世紀的發展路線。
他相信，證明黎曼假設之於數學，就好比到月球上抓蒼蠅之於科技，都會造成翻天覆地的影響。當希爾伯特提出把黎曼假設作為第八問題後，他進一步向國際數學家大會解釋，完全理解黎曼的素數公式，或許能帶領我們進入一個新境界。在那兒，我們能揭開素數的許多其他秘密。他還提到哥德巴赫猜想和無窮多對孿生素數的存在問題。對黎曼假設的證明熱潮具有雙重意義：一方面，它預示著數學史上一個時代的謝幕；另一方面，它將為我們打開更多扇門。
希爾伯特相信，距離證明黎曼假設的那一天不會太久。在1919年的一次演講中，他樂觀地說道，自己能活著看到有人證明出黎曼假設，或許臺下最年輕的觀眾還可以有幸見證費馬大定理的證明。但是，他又大膽地預測，或許在場的所有人都不能活到親眼見證第七問題——2的√2次冪是否為某個方程的解——的證明。也許希爾伯特在數學上天賦異稟，但是若論預測能力則稍顯遜色。不到10年，他的第七問題就被攻克了。1919年聽過希爾伯特演講的年輕畢業生，也有可能活到1994年，見證懷爾斯對費馬大定理的證明。在過去的幾十年裡，儘管在證明黎曼假設上已取得可喜進展，但是就算希爾伯特從墳墓中醒來，如同500年之後的巴巴羅薩（即腓特烈一世）會醒來一樣，黎曼假設可能依然無解。
有一次，希爾伯特仿佛看到那一天離他不遠了。一天，他收到一個學生寄來的一份論文，該學生聲稱自己證明了黎曼假設。沒多久，希爾伯特就發現了證明中存在的一個漏洞。但是，他被其採用的證明方法深深吸引住了。不過可惜的是，這個學生一年之後就去世了。希爾伯特被邀請在學生墓前致詞。他對這個年輕人提出的想法讚賞有加，並希望有一天可以促使這個偉大的假設得到證明。之後他說道：「如果你願意的話，可以考慮在虛數上定義一個函數……」就這樣，希爾伯特投入到錯誤的證明思路當中，使這個數學問題偏離了原有的正確軌道。不過，這完美地詮釋了人們對數學家的刻板印象：數學家往往會與現實社會相脫節。不管這個故事是真是假，都是可信的。數學家有時候會有井蛙之見。
希爾伯特發表演講後，黎曼假設很快就進入了公眾視野。如今它被譽為數學史上最偉大的未解之謎之一。儘管希爾伯特一心想證明這個假設，最終卻未能成功，但他提出的新研究課題對20世紀的數學產生了深遠影響。就連他提出的物理學問題以及關於數學公理的基本問題，也在20世紀末華麗登場，在推動我們對素數問題的理解上扮演起重要角色。不過與此同時，希爾伯特也肩負著這一重任：為哥廷根數學界推選出「學術擔當」，這個人能接過從高斯傳到狄利克雷再到黎曼之手的接力棒。
譯者註：
義大利著名男高音歌唱家，其代表作有《浮士德》。卡魯索中等身高，肩膀寬闊，身材魁梧。在一米的距離內，他可以把音量加大到大部分歌唱家力所不能及的140分貝。他的強音使其他同臺的藝術家不得不和他保持一定距離。在他之後的男高音中，只有莫納何的音量多少可與其媲美。由此可見，希爾伯特平時播放音樂的音量之大。
作者簡介
馬庫斯·杜·索託伊（Marcus du Sautoy）
牛津大學數學教授、西蒙義講座教授，英國工程暨物理研究委員會研究員，英國皇家學會研究員。他是BBC科普節目嘉賓、TED演講嘉賓，《泰晤士報》和《衛報》專欄作家，曾獲倫敦數學學會的貝維克獎、大英帝國官佐勳章。他的科普著作《神奇的數學：牛津教授給青少年的講座》深受讀者喜愛。
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