高頻考點3:倍數特性法
適用範圍:倍數特性(×、÷)題目含有以下關鍵詞:「倍」「商」「整除」「平
均」「每」「比」「比例」「(百)分數」。
常用題型:平均數問題、餘數問題、和差倍比問題、經濟利潤問題、行程問題等。
基礎知識：
當
化成最簡分數時,則A是m的倍數,B是m的倍數,
(A+B)是(m+n)的倍數,(A-B)是(m-n)的倍數。
補充知識:
(1)2、4、8整除判定基本法則
一個數能被2(或者5)整除,若且唯若末一位數字能被2(或者5)整除
個數能被4(或者25)整除,若且唯若末兩位數字能被4(或者25)整除;
個數能被8(或者125)整除,若且唯若末三位數字能被8(或者125)整除
(2)3、9整除判定基本法則
一個數能被3整除,若且唯若其各位數字之和能被3整除;
個數能被9整除,若且唯若其各位數字之和能被9整除。
(3)7整除判定基本法則
一個數是7的倍數,若且唯若其末位數的2倍,與剩下的數的差為7的倍數。或
者直接除以7,能夠除盡即可。
(4)11整除判定基本法則
一個數是11的倍數,若且唯若其奇數位數字之和與偶數位數字之和的差為11的
倍數。
小結：
①是否是3、9的倍數:各位數字相加和是否為3、9的倍數；
②是否是2的倍數:看最後一位是否是2的倍數；
③是否是4的倍數:看最後兩位是否是4的倍數；
④是否是8的倍數:看最後三位是否是8的倍數；
證明3、9的倍數過程:設四位數abcd,則1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)，前三項必然是3、9的倍數,得證。在這個基礎上,如果各位數字之和除以3、9有餘數,這個餘數就是多位數本身除以3、9的餘數。2、4、8的證明過程同理。
例:某人共收集郵票若干張,其中1/4是2007年以前的國內外發行的郵票,1/8是2008年國內發行的,1/19是2009年國內發行的,此外尚有不足100張的國外郵票。則該人共有（ ）張郵票。
A.87 B.127 C.152 D.239
解析:本題直接從選項入手,選擇能被4、8和19整除的一項即為正確答案。選項A、B、D明顯不能被4整除,所以本題答案為C。
【例1】(2017福建)如下圖,一個正方體的表面上分別寫著連續的6個整數,且
每兩個相對面上的兩個數的和都相等,則這6個整數的和為:
A.53
B.52
C.51
D.50
【師兄剖析】由條件「每兩個相對面上的兩個數加和相等」,設每組相對面的數字加和為x,一共3組相對面,3組相對面的總和應為3x,所求值應可被3整除,只有C項滿足。故正確答案為C。
【例2】(2017聯考)某地舉辦鐵人三項比賽,全程為515千米,遊泳、自行車、
長跑的路程之比為3:80:20。小陳在這三個項目花費的時間之比為3:8:4,比賽中他長跑的平均速度是15千米/小時,且兩次換項共耗時4分鐘,那麼他完成比賽共耗時多少?
A.2小時14分
B.2小時24分
C.2小時34分
D.2小時44分
【師兄剖析】由三個項目所花時間之比為3:8:4,知項目總時間是15的倍數,再加上換項耗時4分鐘,則比賽總時間應為15的倍數加上4分鐘,結合選項只有C項(154分鐘)滿足。 故正確答案為C。
【例3】(2015山東)車間領到一批電影票和球票發放給車間工人,電影票是球票
數的2倍。如果每個工人發3張球票,則富餘2張,如果每個工人發7張電影票,則缺6張,問車間領到多少張球票?（ ）
A.32
B.30
C.64
D.60
【師兄剖析】依據題意「如果每個工人發3張球票,則富餘2張」,則可推知球票的數量減2,可以被3整除,觀察選項只有A項符合。故正確答案為A。
【例4】(2014廣東)一些員工在某工廠車間工作,如果有4名女員工離開車間
在剩餘的員工中,女員工人數佔九分之五,如果有4名男員工離開車間,在剩餘的員工中,男員工人數佔三分之一。原來在車間工作的員工共有( )名。
A.36
B.40
C.48
D.72
【師兄剖析】根據題意,減少4名女員工後,剩餘女員工數量為總人數的
則可推出總人數減4後為9的倍數;同樣,減少4名男員工後,剩餘男員工數量為總人數的
則可推出總人數減4後為3的倍數。觀察選項只有B項滿足分析要求。故正確答案為B。
【例5】(2016北京)某單位原擁有中級及以上職稱的職工佔職工總數的62.5%。
現又有2名職工評上中級職稱,之後該單位擁有中級及以上職稱的人數古總人數的
。則該單位原來有多少名職稱在中級以下的職工?（ ）
A.68
B.66
C.64
D.60
【師兄剖析】由題意得,原來單位中級及以上職稱和中級以下職稱人數之比為5:3故原來職稱在中級以下的職工人數應為3的倍數,排除A、C兩項。已知有兩人評上中級職稱後(即中級以下職稱人數減少2人),該單位中級及以上職稱和中級以下職稱人數之比為7:4,故原來職稱在中級以下的職工人數減2應為4的倍數,排除D項。故正確答案為B。