中考攻略|二次函數綜合-面積比定值問題

2020-11-29 雲翊學堂

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本期為大家帶來的依然是中考數學二次函數綜合的內容，這是近幾期的思維導圖，接著上期，本次講解定值問題——面積比定值問題（含相等）。

思維導圖

面積比定值問題

顧名思義，面積比定值問題，指的是給出面積的比為一個定值，含面積相等。一般的解題思路是添加輔助線——垂直、平行，構造相似三角形（或特例全等），常需要聯立方程，或補全（構造）成四邊形，利用中點坐標公式求解亦可，在此講解幾何法。

典例①

分析：第1問，此處，自點C向x軸或y軸作垂線均可，如圖所示

第2問，聯立方程即可，在此不贅述。

第3問，由線段比及面積比均為2：1，非常容易聯想到面積模型（三角形等底等高模型），顯然，當分別選取AB、BC為底時，只需高相等即可，如下圖所示

看我72變：若將題意「點P位於第四象限的拋物線上」，改為「點P是該拋物線上一點」，不特別指出其所在象限，則變成多解問題，也即我們常見的分類討論。這時候就需要分為P在AB上方和下方兩大類，共4種情況，通過聯立方程（直線與拋物線）求解即可。如下圖所示

詳細解析：

典例②

分析：本題屬於面積相等的情況。第1問，兩個未知數，兩個點坐標，代入聯立方程求解即可求出解析式；對稱軸的求法，可用配方法，也可用公式法。

第2問，讓我們求三角函數（比）值，需要放到直角三角形中去，一般步驟是添輔助線、構造直角三角形。而在此之前，我們知道，可以先通過邊角關係，判斷所求角所在三角形是否為直角三角形，若是，則省去了添加輔助線的步驟，何樂而不為呢？

通過觀察，只有∠ABC所在三角形中，只有∠CAB有可能是直角，先自B作BH垂直於OA，由邊角關係易判斷角相等，即∠CAO=∠ABH，易得△OAC全等於△HBA，所以只需求AC/AB的值即可。如下圖所示

第3問，由兩個三角形面積相等，且有公共邊AC，故只需要D到AC的距離= B到AC的距離即可。這裡，D點的確定有很多方法：①如過C作AC的垂線與對稱軸交點即是D；②由AB=CD，易知BH=CE，亦可得D；③根據平行 ，過A作BC的平行線（或過C作AB的平行線）與對稱軸相交即可得D。如上圖所示

簡要答案如下：

結語

通過今天的實例，你對於面積比定值問題有了一定的了解嗎？希望同學們有所收穫，那就是我所期望的。更多實例，以後將繼續分享，敬請期待。

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