2020年重慶市中考真題A卷第26題
26.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC邊上一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，連接CE，DE．點F是DE的中點，連接CF．
（1）求證：CF=AD/根號2；
（2）如圖2所示，在點D運動過程中，當BD=2CD時，分別延長CF，BA，相交於點G，猜想AG與BC存在的數量關係，並證明你猜想的結論；
（3）在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P，使PA+PB+PC的值最小．當PA+PB+PC的值取得最小值時，AP的長為m，請直接用含m的式子表示CE的長．
問（1）△BAD≌△CAE，∠B=∠ACE=45°，∠ECD=90°；
Rt△BAC與Rt△DAE都是等腰直角三角形，F是DE中點，則2CF=DE.
得出這些關係，就不難證明問（1）了。
問（2）方法一：利用四點共圓
旋轉全等：△BAD≌△CAE，BD=CE=2CD.
F是DE的中點，∠EAD=∠ECD=90°，點EADC四點共圓。
∠1=∠2，∠2=∠3，∠3=∠4，則∠1=∠4.
對頂角∠GHA=∠EHC相等，∠AGC=∠AEC
則點AGEC共圓。
點F是△AEC的外接圓圓心，（不在同一直線上的三點確定一個圓），F作為圓心，FG也就是共圓的半徑，FG=FC，即GC=DE
設CD=a，BD=CE=2a，BC=3a，AC=3a/根號2
DE=GC=根號5a，AG=a/根號2；
AG/BC=根號2/6.
方法二：
過點G作GH⊥BC，垂足為H。設CH=x，BH=3a-x.GH=BH.
在Rt△GHC和Rt△ECD中，∠GCH=∠EDC（FD=FC），Rt△GHC∽Rt△ECD
EC=2CD，GH=2x.
2x=3a-x，x=a，說明H與D點重合，那麼Rt△GHC≌Rt△ECD，GC=ED=根號5a.
計算同上了。
（3）其實是個費馬點問題。先找出什麼時候PA+PB+PC的值取得最小值。
在AD上任取一點P，連接PA、PB、PC，將△APC逆時針旋轉60°，得到△AP』C』.
△APP』是等邊三角形，PA+PB+PC=PB+PP』+P』C』
當BPP』C』在一條直線上時取得最小值，則∠APB=∠AP』C』=120°，∠BPC=360-240=120°
∠CAC』=60°，∠BAC』=150°，AB=AC』，∠ABP=15°，在△APB中，兩角已知，∠BAP=45°。
則AD是等腰直角△BAC的斜邊中線，如下圖。
∠DAE=∠ADC=∠ECD=90°，四邊形ADCE是矩形，同時AE=AD，四邊形ADCE是正方形。EC=DC.
設PD=b，則DC=根號3b.
m+b=根號3b，b=(根號3+1)m/2
CE=(3+根號3)m/2