2020年高考加油,每日一題,直線與橢圓的綜合問題

2020-12-05 吳國平數學教育

典型例題分析1：

已知三點P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那麼以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的短軸長為（　　）

A．3

B．6

C．9

D．12

解：設橢圓的標準方程為：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），

可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|=√（112+22）+√（12+22）=6√5，

解得a=3√5．

∴b=√（a2-c2）=√[（3√5）2-62]=3．

∴橢圓的短軸長為6．

故選：B．

考點分析：

橢圓的簡單性質．

題幹分析：

設橢圓的標準方程為：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），

可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|，可得b=√（a2-c2）．

典型例題分析2：

已知橢圓C；x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）過點（0，2），且離心率為√5/5

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設橢圓C的左、右焦點分別為F1、F2，若在直線x=3上存在點P使得線段PF2的垂直平分線與橢圓C有且只有一個公共點T，證明：F1，T，P三點共線．

考點分析：

直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．

題幹分析：

（I）由題意可得：b=2，c/a=√5/5，a2=b2+c2，聯立解得即可得出橢圓C的方程．

（II）由（I）可知：F2（1，0），且直線F2P的斜率存在，設其方程為：y=k（x﹣1），可得P（3，2k），設線段F2P的中點為D，則D（2，k）．對k分類討論：當k=0時，線段F2P的垂直平分線方程為：x=2．不合題意，捨去．k≠0時，線段F2P的垂直平分線為：y=﹣（x﹣2）/k+k．與橢圓方程聯立，利用相切的性質可得：△=0，解得k．可得T坐標．對k，分類討論即可證明．

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