在上一節的末尾，我們給讀者們留下了一個問題：文末對於龐加萊猜想的描述，是否真正的符合龐加萊猜想呢？現在就給大家揭曉謎底。
正 文
我們再來看龐加萊最初提出的猜想：
在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是 一個三維的圓球。
我們現在知道，這個圓球是拓撲意義下可以做同胚變換的「圓球」。這是正確的嗎？我 們好像想像不出其他的情形，但這並不足以說明這個猜想是對的。實際上它是錯的，因為它 沒有考慮流形的邊緣。
什麼是流形的邊緣？
讓我們從大家最熟悉的開區間和閉區間開始討論。事實上，開區間就是一個無邊緣的一維流形，而閉區間就是一個帶邊緣的一維流形。在初高中，我們是怎麼用通俗易懂的手段來判斷開閉區間的呢？是看這個區間包不包含端點。這個端點就稱作一維流形的一個邊緣。同樣的，如果我們把區間的帶邊緣問題整體提升一個維度，來研究二維流形，那麼我們判斷的根據就是這個二維流形包不包含「邊界線」。
如圖，虛線代表不含圓周：
顯然，前者是無邊緣的，後者是帶邊緣的。
在這裡我們要說明兩個問題。首先不能像開閉區間那樣按流形是否帶邊緣稱作開閉流形。事實上，開閉流形都是無邊緣流形，區別是緊緻化的問題。這個問題我們不談。
顯然，一個無邊緣三維流形，不能等同於帶邊緣（球面）的三維球體，所以我們說這個猜想是錯的。龐加萊在1905年發現了他敘述中的錯誤，並對其進行了修改：
任何與三維球面同倫的三維封閉流形必定同胚於三維球面。
或者說：
任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。
這才是真正的龐加萊猜想。
我們剛剛才提過，二維球體（圓盤）的表面是一個一維球面（圓周），而三維球面實際 上是四維空間中的東西，它是平鋪於四維球體上的一層沒有四維「厚度」的膜。也就是說， 我們無法想像出三維球面（超球面）到底長什麼樣子。
不過，通過類比的方法、通過二維球面，我們可以想像、刻畫或理解三維球面的可能性 質。在這裡我們要介紹黎曼球面，它原本是黎曼(Riemann)在複分析中解釋擴充複平面時引 入的一種球極投影。現在我們利用這種思路在實空間中將球面從球的頂極點 P 向平面射影：
這就把球面上除了極點 P 之外的所有點映射到了一個無窮大的零虧格平面上，而且這個 映射是雙射且連續的（事實上其逆映射也連續）。接著黎曼定義平面上的無窮遠處全部交於 一點，該點稱為無窮遠點，作為球面的 P 點映射到平面上得到的結果。在這個意義下，0 可 以作為除數，並且滿足：
注意，在其他任何意義下該式都不成立。
也就是說，
同樣的，三維球面也可以做類似的投影，它可以描述為無洞的三維空間（也就是三維單連通流形）加上一個無窮遠點。但是，我們知道三維球面向三維空間的映射是雙射且連續的， 並不知道其逆映射是否連續。也就是說，我們單知道三維球面可以被描述為三維單連通空間，不知道如果一個三維空間單連通，它是否一定能連續變化為三維球面。
這便是龐加萊猜想，他認為是這樣的。
尾 聲
最後我們來簡單說說龐加萊猜想的證明歷史。
前期做龐加萊猜想的大部分數學家，比如懷特海德(J.Whitehead)、哈肯(Haken)等人，他們給出的證明都是有缺陷的，但也為拓撲學的發展打下了堅實的基礎。在這裡我們只單獨提一下赫裡斯託斯·帕帕基裡亞科普洛斯(Χρστο Δημητρου Παπακυριακπουλο)，簡稱 Papa。他把自己的一生都獻給了龐加萊猜想，為此放棄了教授的職位。在他胃癌晚期撒手人寰的前段時間，他還將自己證明龐加萊猜想的手稿交給他的朋友過目。然而僅僅翻了幾頁，他的朋友就發現了錯誤，但為了讓Papa 安心離去，朋友並沒有告訴他。可以說，Papa的一生是一場悲劇，但對於他自己而言卻是喜劇，因為他能夠將自己的生命奉獻給自己熱愛的事業。
中期對龐加萊猜想作出巨大貢獻的，主要是瑟斯頓(10)(Thurston)，他給出了幾何化猜想，認為宇宙一定由八種基本拓撲形狀構成，並利用幾何化猜想證明了龐加萊猜想。然而，用猜想證明猜想當然是不嚴謹的，但瑟斯頓以跟希爾伯特(Hilbert)類似的理由(11)放棄了對幾何化猜想的繼續證明。他的理由是「要是證明出來了，年輕人就沒有奮鬥的動力了」。
最終，在克雷(Clay)數學研究所剛剛把龐加萊猜想加入「千禧年問題」後的不到三年， 佩雷爾曼(Perelman)便完成了瑟斯頓「幾何化猜想」的證明。2002 年 11 月 12 日，佩雷爾曼在 arXiv.org 上公布了自己的證明，並在之後半年中又發布了兩篇系列論文。這三篇文章概述了龐加萊猜想以及更一般的幾何化猜想的證明，從而實現了哈密頓(Hamilton)提出的綱領。
到這裡對龐加萊猜想的介紹就基本結束了，但我們還剩最後一個問題沒有解決：為什麼一個連數學符號語言都沒有的、完全用自然語言描述的看似「顯然」的猜想能困擾歷代整整九十九年的數學家？
這個看似直觀顯然的猜想為什麼如此難以證明，事實上是一般人難以理解的。所以在這裡，我們不妨用問題來解釋問題：如何證明一條閉合曲線把平面分為兩部分呢？
這看起來可比龐加萊猜想顯然多了，然而它的證明也是十分困難的，需要以基本群為工具才能給出證明。它的學名是 Jordan 曲線定理，直到 1905 年才出現第一個正確的證明。用自然語言敘述，它可能是一目了然的；但用數學語言敘述：
看起來就沒那麼顯然了。龐加萊猜想，也是類似的道理。所以，在科普的最後，我也要建議大家，不要認為表面顯然的真實就是易懂的事實。不僅數學如此，人生，不也是一樣的嗎？
（ 全 文 完 ）
注 釋
(1) 本文所使用的數學計算機輔助程序為 Mathematica。該收縮過程可以用 gif 圖展示， 但是我的電腦在處理以下代碼時失敗了，有興趣且電腦配置比較好的讀者可以試著自己展示一下，代碼見下：
(2) 這個秀兒一般的三維體是這樣得到的：
(3) 除特別說明以外，本文討論範圍均在實空間內。
(4) 區別實際上是存在的，但是並不存在於 1935 年之前的大部分拓撲學家腦海中。一 直到惠特尼(H.Whitney)提出了微分流形的嚴格概念之後，微分拓撲才真正開始興起，拓撲學 家才開始在原先同胚的基礎上考慮「微分同胚」，即從連續過渡到光滑。比如，球體的表面 顯然是處處光滑的，但正方體卻存在八個不光滑的奇點；所以這兩個幾何體雖然同胚但並不微分同胚。除特別說明以外，本文討論範圍均不包含微分性質。
(5) 四色定理的證明其實和龐加萊猜想還有一定的淵源。沃夫岡·哈肯(Wolfgang Haken) 在證明龐加萊猜想的過程中發現了自己的一個致命錯誤，這次失敗讓 Haken 博士陷入了暴食 症，後來被人戲稱為「龐加萊猜想綜合症」。最終在 Haken 轉向研究「四色問題」後該病不治而愈了，而他最終也利用機器證明給出了四色定理的答卷（儘管並不是所有人都滿意）。
(6) 圓環面的繪圖：
(7) 如下：
(8) 圖源自百度百科對「虧格」的介紹。
(9) I = [0,1].
(10) 斯梅爾(Smale)也在龐加萊猜想方面作出了一定的貢獻，但他所做的工作並不是證 明我們上文提到的常規的龐加萊猜想，而是證明了高維的、較簡單的龐加萊猜想：
任何與 n 維球面同倫的 n 維封閉流形必定同胚於 n 維球面，其中 n ≥ 5。
為什麼高維的龐加萊猜想還要更簡單？這就牽扯到紐結理論了。高維的情形下閉合曲線 收縮的過程中不會打結，但三維中是會出現扭結的。
(11) 希爾伯特當年拒絕證明費馬大定理(Fermat’s Last Theorem)的理由是：「這是一隻會下金蛋的鵝，我為什麼要殺掉它？」
作 者：DeltaAPC編輯部科普組聲明：未經作者或編輯部授權，禁止進行摘抄、轉載、篡改或引用，否則將追究版權責任。
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