引 言
1904 年，在一篇名為《對位相分析學的第五次補充》的論文中，亨利·龐加萊(Henri Poincaré)提出了一個猜想：
在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。
這個猜想所表達的意思到底應該如何理解？難道這就是高深莫測的龐加萊猜想嗎？為什麼一個連數學符號語言都沒有的、完全用自然語言描述的看似「顯然」的猜想能困擾歷代整整九十九年的數學家？
今天這篇文章就著重來解決這些問題。
正 文
這句話的意思並不難理解。我們先反過來，從一個三維球體 D3 內部的一條封閉曲線開始考慮。下面我們通過數學軟體模擬出來這個情形：
其結果為：
現在我們讓球內的曲線任意收縮，如圖：
最終能收縮成一個點(1)。
不難看出對於球內的任意一條閉合曲線都是這樣。也就是說，我們可以觀察出來，在 D3中，每一條封閉的曲線都能收縮到一點。而龐加萊猜想，則是把這條看起來顯然的定理逆過來，他認為利用每一條能收縮到一點的曲線，能夠推導出這些曲線所在的空間的性質。當然，到這裡你可能有個問題：就算能夠利用曲線的性質推導出它所在空間的性質，但為什麼偏偏是球體？為什麼不能是其它形體？
（討論環節。）
其實不一定是球體，也可以是正方體、長方體，甚至可以是(2)：
好吧。
我承認心形體確實不大可能，除非設計這個空間的人是個可愛的女孩子。
撇開這些不談，實際上，上面說到的這些形狀，專業名詞稱之為流形(manifold)，通俗地來說被定義為：
局部具有歐幾裡空間(Euclidean Space)性質的空間。
什麼叫做歐幾裡得空間？
這樣講吧，一維的歐幾裡得空間就是（實）(3)直線，二維的就是平面，三維的就是立體， 跟我們日常生活中所認識的一樣。
在此基礎上我們來理解流形。先來一個最貼近我們的例子：現在人類基本上都知道地球近似是一個球體，也就是說它的表面是一個球面，那我們平常生活中出行能感受到這個球面的曲率嗎？
「大三角形」雖然是曲邊的，但右下角非常小的三角形就和平面上一樣了。（原圖來自維基百科）
顯然不能，這是因為在局部上，球面是等價於平面的。這也是為什麼古人認為地球是一個大圓盤，因為在不觀察月食現象、做環球旅行或是其他實驗的情況下，如果不能上太空，人類又無法直接從宇宙中直接觀察到地球的整體，只能看到局部，那麼自然無法判斷地球的真實形體。這就叫做局部具有歐幾裡得空間性質，也因此我們認為地球的表面是一個二維流形，因為它局部具有平面的性質。
更「數學」一點來說，如果一個空間能夠以某種方式投影成 n 維歐幾裡空間，那麼這個空間就被稱作 n 維流形。真正的數學定義其實是這樣的：
（還想進一步理解？下課來我辦公室啊（不是）。）
而我們前面提到的球體、正方體或是心形體，它們都是三維流形。這裡我們要說，它們在點集拓撲上(General Topology)都是等價的。這裡的等價有兩種概念，第一是同倫(Homotopy) 等價，第二是同胚(Homeomorphism)。也就是說，在拓撲學家(topologist)的世界觀中，球體和你所說的正方體、長方體其實都是一樣的，沒有任何區別(4)。這就是為什麼我們說「不一 定是球體」但卻用球體來描述該猜想，因為它們在拓撲學裡都是一樣的。（這裡沒有壓迫， 人人平等！）
先來說說什麼是拓撲學，在這裡我們引用北大尤承業教授在《基礎拓撲學講義》的引言中所寫的內容：
「什麼是拓撲學？」這是許多初學者都會提出的問題。拓撲學是一種幾何學，它是研究幾何圖形的。但是拓撲學所研究的並不是大家熟悉的普通的幾何性質，而是圖形的一類特殊性質，即所謂「拓撲性質」。於是，要了解拓撲學就要知道什麼是圖形的拓撲性質。然而，儘管拓撲性質是圖形的一種很基本的性質，它也具有很強的幾何直觀，卻很難用簡單通俗的語言來準確地描述。它的確切定義是用抽象的語言敘述的，這裡還不能給出。……以上幾個問題顯示出幾何圖形的一類特別的幾何性質，它們涉及到圖形在整體結構上的特性，這就是「拓撲性質」。顯然，它們與幾何圖形的大小、形狀，以及所含線段的曲直等等都無關，也就不能用普通的幾何方法來處理，需要有一種新的幾何學來研究它們，這個新學科就是拓撲學。也有人形象地稱它為橡皮幾何學，因為它研究的性質在圖形作彈性形變時是不會改變的。
由於篇幅有限，在該書提到的「幾個問題」中我們僅選取 Euler 多面體定理進行詳細的敘述，另外的兩個問題分別是「七橋問題」和「地圖著色問題（四色問題）(5)」，感興趣的讀者可以在網上查一查。
對於 Euler 多面體定理，相信大多數人在學習立體幾何的時候一定早有耳聞。它說的是：
然而，既然我們需要的是在彈性形變時不會變化的性質，我們就得拋開多面體來考慮。現在把凸多面體放進一個大球體，並使球心在多面體內部。接著從球心做中心投影，把凸多面體的頂點映射成球面上的節點，稜映射成球面上的曲線（被稱為枝）。這些節點和枝構成球面上的一個圖，它把球面分割成 f 個面塊，有 l 條枝和 v 個節點。如圖：
這個圖滿足：
(1) 每條枝的端點是兩個不同的節點；
(2) 不同的枝不會相交於內點；
(3) 每條枝不會自交。在這個意義上，歐拉定理可以推廣為：
當球面變形時，可以看出 f , l 和 v 這三個數並不會變化，所以對變形的球面比如橢球面， 或是任何閉的單連通二維流形（這裡的閉表示封閉）這個定理仍然成立。要注意，我們這裡說的變形，是一種連續的過程，是不發生粘連或者撕裂的變形。在這 種變形下，你不可能把一個球面變成一個環面(6)：
否則你必須撕裂這個球面然後再以其他的形式粘連，或者直接把球面的兩極下壓至粘連再撕裂。這也就意味著，球面和環面之間的一些拓撲性質是不同的。比如上文提到的歐拉定理，如果在環面上存在一個連通的圖，那麼它必然滿足：
不僅是 f - l + v 的得數，還有其他許多不同的性質。比如，我們不難看出，環面比球面在中心多了一個洞，這意味著如果我們像開頭那樣在環面的內部（我們一般把它叫成甜甜圈）任意畫一條閉合的曲線，這條曲線不一定能收縮成一個點(7)：
對於上面這種情況，不難看出這條曲線在收縮的時候會被中間的孔洞擋住，從而變成孔洞的形狀而無法收縮成一個點。我們把這種情況叫做一維多連通（非一維單連通），把孔洞的個數叫做虧格(genus)。虧格也是一種拓撲性質。
球面顯然是一個零虧格曲面，而環面則是一虧格。而對於更大的曲面，比如(8)：
它們的 f - l + v 是一個負數，我們把這個由曲面本身的性質決定的數叫做 Euler 數。
注意到，我們在上文對拓撲學的介紹中多次提到了一種連續的變形，這種連續的變形就是我們在開始介紹拓撲學之前就已經提到的兩種等價：同倫和同胚。這兩種等價關係都不會 改變在上文提到的兩個性質，因為和 Euler 數（Euler 示性數）都是同倫不變量，而同倫 不變量一定是拓撲（同胚）不變量。
（討論環節。）
中日關係是同倫不同胚的，中美關係是不同倫也不同胚的。
了解了這些概念之後，我們再來看龐加萊最初提出的猜想：
在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。
那麼大家再來看看這句話，是否真正的符合龐加萊猜想呢？我們將會在下一節給大家做出解釋。
作 者：Delta
APC編輯部科普組
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