初一數學概念:單項式、多項式、整式三者之間的區別和關係

在初一數學中，整式、單項式及多項式是重要的知識點，在解題過程中經常涉及。那麼，什麼是單項式？什麼是多項式？什麼是整式？三者之間又是什麼關係呢？只要搞清楚這四個問題，我們也就掌握了這些概念。

概念是判斷的唯一標準，如果概念搞不懂，或者一知半解，或者似懂非懂，那麼做起題來就會沒有頭緒，甚至無從下手。接下來，我們就要把單項式、多項式、整式及三者之間的關係講透了，把它們真實的樣子還原出來，讓你們看得清清楚楚、明明白白，再也不是霧裡看花哈……

什麼是單項式？

數與字母的乘積，這樣的代數式就是單項式。其中，單獨一個數字或單獨一個字母也是單項式。

這條定義雖然看上去講得已經很清楚了，但是不細分析的話，也是讓人一頭霧水的。那麼，咱們就把這條定義裡的關鍵點提取出來，細細地剖析一下：

1、單項式裡的對象是數字與字母：

從定義中不難看出，在單項式中要麼只有數字，比如36、1.2、1/6（六分之一）、兀（圓周率）、36兀……等這些都是單項式；要麼只有字母，比如a、b、c 、abc……等這些都是單項式；要麼既有數字又有字母，比如36a、1.2abc……等這些都是單項式。也就是說，單項式的參與對象是數字、或字母、或數字與字母。

數字，包括整數、分數和小數。值得強調一點是，既然包括小數。當然也就包括無理數了。因為小數包括無限不循環小數，無限不循環小數就是無理數。比如我們說的圓周率「兀」就是無理數，因為單項式的參與對象也包括無理數，所以像"3兀b"之類也是單項式。

2、單項式裡只有一種運算符號，那就是乘號：

我們都學過代數式的概念，再結合單項式的概念，不難看出，單項式也是代數式裡的一種。我們也知道，代數式的概念裡強調的是運算符號，也就是說只要是運算符號，其它條件也滿足的話，那就是代數式。

而單項式裡強調的是運算符號裡的一種，即乘法運算符號。也就是說，在單項式裡有且只有乘法這種運算符號，單項式裡只有乘積這種關係！

判斷下面的代數式是不是單項式，為什麼？

單項式判斷題~

很顯然，這四道題全不是，因為在這四個代數式裡不是只有乘積關係，還有別的關係，所以不是。

重點：單項式的字母絕對不能作分母，也就是說，只要是分母上有字母的，那肯定不是單項式。

3、特殊的單項式：

特殊單項式例題~

如果出現這樣的題，估計很多朋友都是蒙的。其實很簡單，只要記住一條就行，那就是「單項式的絕對值依然是單項式！」就這麼簡單。

那麼，下面的幾道題是不是單項式呢？為什麼？

正確的答案將在下一節課裡公布~

4、單項式的係數：

在單項式裡，有一個部位的名稱叫做係數。

因為單項式是乘積關係，所以關係方都叫因數。比如3a這個單項式中，3和a都是因數。其中，數字因素就叫做單項式的係數。因此，3就是3a這個單項式的係數。再比如：-8ab，在這個單項式中，-8是係數。

關於係數的重點：

a、在包含數字的單項式中，數字部分就是該單項式的係數，數字部分原先的正負號也是係數的一部分。

b、在沒有數字的單項式中，該單項式中的係數要麼是「1」要麼是「-1」，是「1」還是「-1」，主要取決於該單項式的正負。比如「ab」這個單項式的係數為1；再如「-bc"這個單項式的係數就是「-1」

c、在只有數字的單項式中，它的係數就是數字和它本身的正或負符號。

舉例說明重點~

如果上面的這些題目明白了的話，那麼，再給大家出幾道題，看看大家對單項式的係數到底理解透沒有哈：

作業布置~

關於這幾道題目的答案我們留在下一節課講解~

5、單項式的次數：

在單項式中，有一個部位的名稱叫做次數。

其實，單項式裡的次數很好理解，那就是一個單項式中"所有字母的指數和".

那麼，這句話怎麼理解呢？也就是說單項式的次數隻跟字母有關係，與數字因素沒有半點關係的。單項式的次數不是某個字母的指數，而是這個單項式裡所有字母的指數和。不管字母在單項式中什麼位置，只要是字母，有一個算一個，它們的指數和就是單項式的次數。

舉例說明~

強調兩點：

a、單項式的次數隻跟字母有關係，與數字沒有關係。比如上面的第一道題，雖然6上面也有指數3，但講算該單項式的次數時，數字上面的指數是不參與的。

b、一個單獨非0數的次數，就是0。這一條記住就行了。如上面的第二道題，8的次數就是「0」

看到這裡，相信大家已經對單項式都了如指掌了。

6、單項式的分類：

根據單項式的概念，單項式可以分為五類

a、單獨一個數字，是單項式；比如88、圓周率兀、3.33......可以是有理數，也可以是 無理數；

b、數字與數字之間的乘積，是單項式；比如3x8x6，是單項式。

c、單獨一個字母，是單項式；比如a、b、c......

d、字母與字母之間的乘積，是單項式；比如abc、bd......

e、數字與字母之間的乘積，是單項式；比如3a、2cf......

什麼是多項式？

其實，理解了單項式，那麼多項式就更好理解了。

幾個單項式的和就叫做多項式。是不是很好理解哈。

從多項式的概念中不難看出，多項式是由單項式組成的，多項式中的單項式之間的關係是「和」的關係。

概念是判斷的唯一標準。那麼，我們拿著單項式和多項式的概念，對圖中的3a和3+a進行區分：

3a表示的是一個數字與一個字母的乘積，符合單項式的概念，顯然3a就是個單項式。而3+b中呢，單獨的一個數字3是單項式，單獨的一個字母b是單項式，加號「+」表示這兩個單項式的關係是「和」關係，所以滿足多項式的概念，所以3+b是個多項式。

在多項式中，有幾個定義需要我們搞清楚：

1、多項式的項：

在多項式中，每個單項式都叫做多項式的項。比如3+a這個多項式中，3和a都叫做該多項式的項。

2、多項式的次數：

多項式的次數，就是多項式中次數最高的單項式的次數。換句話說，多項式的次數是由多項式中次數最高的單項式決定的。只要理解了單項式的次數，多項式的次數就很好理解了。比如3ab+6d這個多項式的次數就是「2」，因為在這個多項式中，單項式3ab的次數最高，是2，同時它也是多項式的次數。

3、多項式的項數：

這個就更好理解了。就是多項式中有幾個單項式，那就是多項式的項數。比如這個多項式6+ab+c，因為該多項式中有3個單項式，所以它的項數是3.

舉例說明~

多項式就講到這裡，為了讓大家更好地理解多項式的概念，我們出幾道題，如下圖所示。有興趣的話可以做一做。我們將在下一課中公布答案~

作業布置~

什麼是整式？

如果我們理解了單項式和多項式的話，那麼整式就更好理解了。因為，整式就是單項式和多項式的統稱。

1、單項式、多項式、整式三者之間的關係：

單項式是由數和字母的乘積組成，多項式是由單項式組成，整式是單項式和多項式的統稱。

2、整式與代數式之間的關係：

代數式包括整式，整式是代數式裡的一部分。因為整式是單項式和多項式的統稱，所以單項式和多項式也是代數式。

3、整式與有理式之間的關係：

有理式包括整式，整式是有理式中的一部分。有理式是整式和分式的統稱。因為整式是單項式和多項式的統稱，所以單項式和多項式也是有理式。

4、整式與分式之間的區別：

正如上圖所示，整式的分母上不能有字母，而分式的分母上有字母。整式與分式之間的本質區別就是字母的位置。在有理式的條件下，字母出現在分母上的就是分式，字母沒有出現在分母上的就是整式。

5、有理式和無理式之間的區別：

有理式和無理式之間的區別，也是在於字母出現的位置。在代數式的條件下，如果字母出現在了根號裡，那就是無理式，除此之外就是有理式。

6、有理式、無理式與代數式之間的關係：

代數式是有理式和無理式的統稱。各式之間的關係如下圖所示：