我第一次遇到卡特災難是在史蒂芬·巴克斯特的《流形：時間》一書中。它提出了一個有趣的概率論證，即人類將在不久的將來滅絕。它被稱為「卡特災難」，因為布蘭登·卡特在1983年首次提出了這個概念。我決定仔細檢查一下，結果證明它在數學上是合理的。
貝葉斯定理的基本知識
這個論證是基於貝葉斯分析的，所以在進行論證之前，我要複習一下本節中我們需要的基本事實。
首先，我們用符號表示P(A|B)是在B為真前提下A為真的概率。最常見的例子是：A是發生某種疾病的事件，B是對該疾病呈陽性的事件。只要檢測結果是假陽性，那麼P(A |B)，也就是患病的概率，在檢測結果為陽性的情況下，就不是100%。
貝葉斯定理是計算這類概率的公式：
有時我將P（A）稱為先驗概率，因為它表示我們在找到B的新信息之前就相信A為真。在上述示例的語言中，我們將說在我們知道您的疾病呈陽性之前，您患該病的可能性是多少？
貝葉斯定理是一個無可爭議的數學定理，但它經常會產生令人難以置信的驚人結果。我們應該相信這些結果，因為人類很不善於判斷概率。
例如，假設對一種疾病的測試有99%的準確率：有1%的機會出現假陽性，1%的機會出現假陰性。假設這種疾病只發生在0.5%的人身上。
如果你的檢測結果呈陽性，那麼你可能會認為你有99%的機會患上這種疾病。但是當你輸入這些數字，你會發現你實際上只有33%的機率患上這種疾病。一個好醫生會重新檢查你，意識到這可能是假陽性。
與直覺相反的是，貝葉斯定理考慮了我們的先驗知識即你不太可能在測試中患上疾病只有0.5%的機率。
如果我問你一個簡單的問題，你就會明白為什麼貝葉斯定理告訴了我們它的作用。哪種可能性更大：是得了這種病還是得了假陽性？答案很簡單：假陽性(因為有1%的機率而不是0.5%的機率)。貝葉斯定理精確地計算出了可能性有多大。
一個啟發性的例子
讓我們從一個基本的例子開始。
我們有一個巨大的高爾夫球浴缸，但是我們看不見裡面。可能有1個球，也可能有100萬個。我們被告知失主在某個時候不小心掉了一個紅色的球。所有其他的球都是標準的白色高爾夫球。
我們決定進行一項實驗，一次抽出一個球，直到達到紅色為止。
第一個球：白色。
第二個球：白色。
第三個球：紅色。
我們停止。
我們現在已經從我們的實驗中生成了一個數據集，我們想要使用貝葉斯方法來給出總共有三個球、七個球或者一百萬球的概率。
在概率方面，我們需要計算桶裡有x個球的概率前提是我們在第三次抽到紅球。任何時候看到這種語言，我們首先想到的應該是貝葉斯定理。
將A定義為盆中正好有i個球的模型。我將在P（）中使用「 3」作為第三次嘗試繪製紅色球的事件。我們必須做一個有限性假設，儘管這是該論點的主要批評之一，但我們可以研究一下隨著邊界大小的增長會發生什麼。
假設現在浴缸只能裝100個球。
根據先驗，我們不知道裡面有多少個球，所以我們假設所有的「模型」都是等可能的。這意味著P()= 1/100我。由貝葉斯定理我們可以計算:
這看起來可能有點混亂，但我鼓勵你自己嘗試一下。它只是替換了貝葉斯定理的每一部分。這裡沒什麼可疑的。
請注意，例如，P（3 |A）= 0是因為在盛水桶中只有1個球的情況下將紅色球作為第三個球的可能性為0。這就是總和從3開始的原因。
所以，如果這個桶能裝100個球，那麼我們的實驗我們在第三次試驗中發現的紅球告訴我們有9%的機率桶裡正好有3個球。
當為任何n計算P（A| 3）時，該底總和保持完全相同，大約等於3.69，並且（1/100）每次都會抵消。
所以我們可以明確地計算出對於n > 3:
這是n的遞減函數，這一點也不奇怪。它說，隨著我們猜測浴缸中有越來越多的球，該猜測正確的可能性將下降。這是有道理的，因為如果浴盆裡有100個球，我們就會這麼早看到紅色的那個是不合理的。
想想這個例子
有很多方法可以解決這個問題。如果我們的浴盆可以容納數百萬，但我們仍然假設是統一的，那會發生什麼？它只是降低了所有概率，但是總體趨勢是相同的：
鑑於我們這麼早就發現了紅色的球，因此假設的總球數太大變得越來越不合理。
希望你相信這一點，即使你沒有遵循任何明確的計算。
如果浴缸裡有一百萬個球，那麼我們不可能不小心把紅色的那個當成第三個球拿出來。如果浴盆裡只有5個球，那麼我們就可以把紅色的當成第三個。這並非完全不可能。
您還可以只關心這個「早期」想法，並在需要詢問A的情況下重做計算，因為我們在第三次嘗試中發現了紅球。實際上，這是在世界末日爭論中提出問題的更典型方式。它更複雜，但是會彈出相同的想法，這應該是有道理的。
這些計算有些涉及的部分原因是我們試圖獲得自然數的分布。但是我們可以嘗試進行啟發式比較以獲得一個非常明確的答案：
如果我們只有兩種選擇「總球數少(比如10個)」或「總球數多(比如1萬個)」會怎樣?你會發現「小」假設有99%的機率是正確的。
卡特災難
現在假設你現在的存在是隨機的。換句話說，你是在人類存在的某個隨機點上突然出現的。因此，人類永遠存在的全部是白球，而您就是紅球。上面的確切論點同樣適用，它說最有可能的事情是，您並非出生於人類歷史上的某個超級早期。
事實上，從概率的角度來看，考慮到你的存在，認為人類會持續更長的時間是不合理的。「小」人口總數比「大」人口總數的可能性要大得多，有趣的是，即使你打亂了均勻的先驗，這仍然是正確的。
你可以假設，人類更有可能是一種先驗，繼續進行改進，開拓空間，開發疫苗，為遙遠的未來存在的物種提供更高的先驗。但不幸的是，在不久的將來，貝葉斯的理論仍然會強烈地支持人類的滅絕，以至於我們必須得出這樣的結論：人類的滅絕是不可避免的，而且很快就會發生!
有很多有趣的和令人信服的哲學反駁，但數學實際上是健全的。