81個分量的物理量真的有意義麼？牛頓粘性定律真的有那麼簡單？
提到流體力學，可能讀者會認為傅立葉導熱定律和牛頓粘性定律是最簡單的了。因為學過流體力學的讀者都能感受到被其他方程支配的恐懼。在基本守恆裡的連續性方程，動量方程，能量方程；描述變形與速度的本構方程；在平面流動的勢函數和流函數以及涉及的虛數問題，這一切都是讓我們頭大的東西。不僅如此，即使是對專業學者、科研人員，他們面對湍流和渦旋也顯得力不從心。甚至到現在，湍流的原理還沒有真正弄明白。那麼你以為傅立葉定律與牛頓粘性定律真的那麼簡單？
我們今天就只介紹一下張量在流體力學中的各種應用。這時的導熱係數和粘性係數分別變成具有9個和81個分量的二階張量和四階張量。
對於張量，我們曾經介紹過應力張量，它是一種二階張量，是除了標量和矢量外最基本的張量。在流體力學中，還有四階張量。它們具有3^4=81個分量！而且是有實際物理意義的。為了讓讀者們明白它們的原理，我們還是從二階張量開始。
二階張量：應力張量
應力張量是描述流體微團表面受力的物理量。我們知道，力是矢量，具有3個分量。那麼為什麼變成應力是二階張量，就有了9個分量了呢？原因就在與我們平時所說的力是作用在一個點上，而應力是作用在流體微團所有表面上的。我們知道，空間中的一個面可以向三個坐標面上投影，這樣空間中一個普通的面就有三個分量了。再加上力的三個分量，就變成了9個分量。因此表面應力是一個二階張量。
應力張量有一個特殊的性質就是對稱性。所謂對稱性就是將二階張量寫成矩陣時，關於對角線對稱位置的元素是相等的，這是由受力平衡所決定的。也許有的讀者可能會問了？表面上的裡不是壓強麼？壓強不就是一個標量p麼？對於這個問題，原因是這樣的：在流體靜止時，流體微團是不能承受剪切力的。這意味著流體微團所受的力都是沿垂直表面方向的裡，沒有與表面方向平行的力，這樣一來，應力張量就只有對角線的元素有大小，其他位置都是0了，而且對角線元素大小都相同，記為p。這樣二階張量就可以用一個標量代替了。但是如果流體不靜止，那麼除了對應靜止時的壓強p外，表面還有其他分力，這部分應力被叫做偏應力張量。可見壓強只是應力張量的一部分。
二階張量：速度變形張量
二階張量在流體力學中的另一個應用是變形速度張量。根據氦姆霍茲速度分解定理，速度可以分解為平動速度，旋轉速度和變形速度。變形速度就是一個張量。速度本身是一個矢量，但是一個流體微團表面也有三個方向，變形就是反應表面形狀的變化，所以速度變形張量就具有了9個分量，成為了一個二階張量。當應力張量與速度張量結合時，就會出現一具有81個分量的物理量，我們後面會講。
二階張量：各項異性的熱導率
想必了解傅立葉定律的讀者們最早知道他都是在傳熱學中的吧。它表示了溫度越不均勻，因溫度不同而發生的熱量傳遞就越大。由於我們可能經常研究一維問題，所以很可能忽略了熱流量是一個矢量！同樣，溫度梯度也是一個矢量。既然熱流密度是一個矢量，溫度梯度是一個矢量，那麼把這兩個矢量聯繫起來的係數k是什麼呢？它其實是一個二階張量。對於熱導率係數k是一個二階張量該如何理解呢？我們可以把它想成一個熱流密度分量與溫度梯度分量的線性組合，就像三個三元一次方程組一樣。
熱流密度的一個分量q1是和溫度梯度的三個分量q1、q2、q3都有關係的，那麼係數就是k11、k12、k13。由於熱流密度總共有三個分量，所以導熱係數就成為了具有9個分量的二階張量。那麼為什麼我們通常所列的熱導率是一個標量呢？因為這是各項同性的原因。所謂各項同性，就是熱導率沿每個方向都是一樣的，大小都是k。最常見的水和空氣就是各向同性的。如果寫成張量，那麼就是：
按照張量的計算規則，其結果與用標量k是沒有區別的。但是如果對於有紋路卻別的木材等，熱導率不同方向是有區別的，這時熱導率的計算就要使用張量了。
四階張量：流體粘性係數
如果你覺得二階張量太簡單了，那麼我們就搞起來！我們知道描述剪切應力牛頓粘性定律是：
這個公式適用於簡單的只有一個方向的剪切運動。但是如果每個方向都有剪切運動，那麼要怎樣計算呢？這時，就要引入我們之前講的應力張量和速度梯度張量了：
這裡的就是四階張量，具有81個分量。與導熱係數一樣，我們可以把它理解成應力張量的9個分量對應速度梯度張量的9個分量的線性關係。也就是9個9元一次方程組。由於這81個分量共同代表了應力與速度梯度的關係，所以是一個具有實際意義的物理量，並不是單純從數學上推導出來的。如果粘性是各項同行的話，這個公式就可以簡化成為本構方程。這裡我們就不多說。
通過這篇文章，想必大家對張量這個東西一定不想再了解了！如果小編做到了讓您放棄張量，那麼請訂閱關注我們。好吧，玩笑歸玩笑，如果您喜歡我們的文章，千萬不要忘記關注哦！您的支持就是我們原創的動力！