混沌理論先驅李天巖去世，最早嚴格定義混沌，提出周期三即混沌

華人數學物理學家李天巖（1945-2020）

傑出的華人數學物理學家李天巖教授，於美國東部時間 6 月 25 日上午 9 點去世。李天巖是密西根州立大學傑出教授，曾經獲得古根海姆獎。

李天巖博士在數學與複雜科學的多個重要領域作出過開創性工作。他與詹姆斯·約克（James Yorke）首次在數學上定義「混沌」概念；他對烏拉姆（Stanislaw Ulam）猜想的證明是動力系統不變測度計算理論與算法研究的奠基性工作；他與凱洛格（R.B. Kellogg）及約克關於計算布勞威爾（L.E.J. Brouwer）不動點的思想和數值方法，開闢了現代同倫延拓算法研究的新天地。

李天巖和他導師詹姆斯·約克 1975 發表了經典論文《周期三意味著混沌》（Period Three Implies Chaos），第一次在動力學研究中引入「Chaos」的概念，提出「周期三即混沌」，開創了混沌動力系統研究的新紀元。

混沌現象在各個領域廣泛存在，對它的定義有多種，而李-約克的混沌定義，是影響最大的一種。這篇論文目前的引用量已近 5 千次。

李-約克定理揭示了混沌動力系統的初值敏感性以及由此產生的解的不可預測性，這是混沌現象的本質特徵。

同為科學先驅，混沌理論之父愛德華·洛倫茨（Edward Lorenz）於 2008 年去世，費根鮑姆常數發現者米切爾·費根鮑姆（Mitchell Feigenbaum）於 2019 年 6 月去世，Logistic 映射提出者羅伯特·梅（Robert May）於 2020 年 4 月去世。

這裡我們轉載李天巖教授的一篇回憶文章，以表懷念。

註：本文整理自 2005 年底及 2006 年底兩次在新竹國立清華大學的演講，刊登於《數學傳播》31 卷 4 期，簡體中文版最早刊載於丘成桐等主編的《數學的人文》第 17 輯。分節和小標題為編者補充。

李天巖《回首來時的路》

1. 保持好奇心

當初第一志願考進數學系，當然號稱是因為對數學感興趣，其實中學時代對數學的所謂興趣多半也只是建立在鑽研和解決數學難題時所得到的「快感」上吧。沒想到一進了大學，差點就被初等微積分裡那些莫名其妙的 ε-δ 給逼瘋了。記得那時同寢室的另外三位室友都是大一數學系的新生，我們多在晚間 11 點左右就熄燈就寢。但是常常在半夜一兩點鐘時，發現大家都被那些 ε-δ 的抽象概念搞得睡不著覺。記得我隔壁書桌的一位同學常常在打草稿寫「遺書」，內容基本上是說：什麼都搞不懂，不知怎麼辦好，不想活下去了……。

後來到了美國以後才知道，我們都不是天字第一號的笨蛋。好比說，在我目前任教的密西根州立大學，系裡根本禁止在一、二年級初等微積分的課程裡灌輸學生所謂 ε-δ 的抽象概念。其實在牛頓、萊布尼茨（Leibniz）發明微積分時，「逼近」、「漸近」、「無窮小」（Infinitesimal）的概念並沒有非常嚴格的「定義」。也只有到 19 世紀中期，數學界的「領導」才開始對所有數學概念要求「嚴格地定義」（Rigorously defined）。

比如說，請告訴我到底什麼是「1」？什麼是「2」？為什麼 1+1=2？（說到這一點，到底什麼是「+」？）若在初等微積分入門階段就要用 ε-δ 去嚴格刻畫「逼近」、「漸近」、「無窮小」的抽象概念，就好像在小學生學基本算術加乘法之前，要求他們先嚴格定義什麼是「1」，什麼是「2」……若真如此，少年維特對數學的煩惱肯定要提早發生了，不是嗎？

中學時代對數學難題的鑽研根本上和數學概念上的所謂直覺（Intuition）沒什麼關係，因此大家好像都嚴重忽略在引入抽象概念之前，先介紹直覺的重要性。我也是到美國以後才知道，數學上的邏輯推理和對數學結構性的認知有相當大的差距。

記得上次在南京時，和一位南京大學數學系的年輕教授共進午餐，這位教授那時並沒有留過「洋」，他聽說東方學生到美國念研究所一、二年級時成績多半傑出，可是過了選課期到研究做論文的階段就逐漸落後美國學生，不知是真是假？其實這位教授所聽說的大致正確。一般較用功的東方學生，在國內受教育時大都下很大工夫在記憶數學上的邏輯推論：這一步為什麼導出下一步，下一步為什麼導出再下一步……然後把所有習題都拿來鑽研一下。在這種情況下，一般的筆試是很難考倒這幫學生的。

可是美國學生所不同的是，在他們早期的數學教育裡卻已很普遍地在問：這到底在講什麼（What it says）？以及它為什麼行得通（Why it works）？這些問題在筆試時幾乎不太可能遇到，但在做研究時卻是非常非常重要。

我有一個臺灣來的博士生，有一次我請他把我在專題討論班裡講過的一篇很重要、很複雜的文章用他自己的數學語言仔細寫出來。從他後來交來的報告裡，可以看出他的確下了很大的工夫把文章中被省略的邏輯細節嚴密地補足了。我把他的報告改了改還給他。然後他又交了來，我又改了改再還給他。他再交來時，我請他告訴我，這篇文章到底在幹什麼？沒想到他卻一個字都答不上來。

其實在一般的數學研究論文裡，我們最常見的是作者用一些莫名其妙的定義推些最一般性的定理。我們若只是非常用力地去了解它的邏輯推理，而輕易忽略去搞清楚作者腦子裡到底在想些什麼，那麼我們對文章的了解將非常有限，很難由此做出傑出的工作。非常遺憾的是，極多數重要 論文的作者都不會輕易把他們腦子裡真正的重點用力寫出來。你必須自己去問這些問題，自己去追尋它的答案。

這一路過來，我常舉的一個例子是，我對一個矩陣的「行秩」和「列秩」為什麼會相等的好奇。其實在任何基本「線性代數」的書裡，我們都可以找到它們為什麼相等的證明。但是從那些邏輯推理的外表，我實在看不出它們為什麼剛好相等（Happen to be equal）。在我真正了解到它們為什麼會一樣的過程中，這個「好奇」卻幫我了解了許多廣義逆矩陣的幾何意義。又好比說，誰不會矩陣運算裡的「高斯消去法」啊？

有一次我問臺灣南部大學數學系的一位教授（這位教授在大學念書時，好像還贏過臺灣「線性代數」比賽的「銀牌」）高斯消去法的幾何意義到底是什麼？他說，這年頭誰要去想這種問題？！語言簡單的東西（好比「拓撲熵」）懂不懂好像不那麼重要。管它懂不懂人們照樣可以發表SCI的文章。可是遇到較複雜的語言時，好比近代代數幾何裡的基本語言「概形」（Scheme）【代數幾何中的一個基本概念，20 世紀 50 年代由亞歷山大·格羅滕迪克（Alexandre Grothendieck）引入】，若對它整個的來龍去脈缺乏一個整體性的理解，一般人恐怕連「定義」都無法輕易記憶。

記得我在自修「交換代數」時，遇到所謂「局部環」（Local ring），當時只是好奇，為什麼稱它為「局部環」？從它定義（只有唯一的一個最大理想（Maximal ideal）的環）的表面實在看不出憑什麼稱它為「局部環」。可是在我試圖真正去了解為什麼要稱它為局部環的過程裡，這個「好奇」卻幫我了解了許多代數幾何上的概念。這一路過來，這種對數學的「好奇」以及對這些「好奇」問題答案的追逐的確給我帶來研讀數學的極大樂趣。在這裡我想強調的是，對這些「好奇」的追求毫無爭取在 SCI 的期刊上發表論文的意圖.

2. 進入馬裡蘭大學

當初去馬裡蘭大學念研究所是一個巧合，遇到後來的指導教授詹姆斯·約克（James A. Yorke）【詹姆斯·約克，作者的博士生導師，曾任馬裡蘭大學數學系主任，2013年退休，現為該校傑出榮譽教授。1975年，他和作者合寫的論文《周期三則混沌》（Period Three Implies Chaos）是混沌動力系統的重要論文，其研究結果是沙可夫斯基定理（Sharkovskii's theorem）的特殊情況。此外，本文提到的求布勞威爾不動點的算法是師生合作的另一重要成果】更是一個極大的巧合。記得約克教授第一次看了我當初在清華大學念書的檔案時，顯然吃了一驚，以為我是哪路「高手」，功力無比深厚。現在回想起來那個檔案裡所記錄的實在是有極大的誤導（Misleading，這字有時是指人「欺詐」的禮貌性用詞）。

看哪！我在念大二的「三高」時，「高等微積分」用的是阿波斯託爾（Apostol）的《數學分析》；「高等幾何」用的是哈爾莫斯（Halmos）的《有限維向量空間》；「高等代數」用的是雅各布森（N. Jacobson）的《抽象代數學》；「微分方程」用的是科丁頓（Coddington）的《常微分方程導論》；大三念「近世代數」時，用的是範德瓦爾登（Van der Waerden）的《近世代數》；念「複變函數論」用的是阿爾福斯（Ahlfors）的《複變函數》。另外，大三還念了拓撲學、數論。大四念了泛函分析、李群、實變函數論（用的是羅伊登（Royden）的《實分析》）、微分幾何（用的是希克斯（Hicks）的《微分幾何講義》）。這些課不但都修過，而且成績都不低（大四修的課都在90分以上）。在表面上看來，這個記錄的確是相當雄壯了，不是嗎？

可是今天把那些教科書拿出來翻一翻，實在很難想像當初是怎麼混過來的。好比說，阿爾福斯那本書的水平不低，它決不適合做初學複變函數論的教科書。記得我們大二在學高等微積分時，教授根本就跳過了「線積分」（現在想來，大概根本的原因還在於阿波斯託爾那本書過於「高深」，教授無法教完書裡大部分的材料）。

可是阿爾福斯的書基本上是假設讀者已經清楚地掌握了所謂的「圍線積分」（Contour integral，複平面上的線積分）。若是對圍線積分都不甚了解，我很難想像當時怎麼去理解「柯西積分定理」（Cauchy integral theorem）【一個關於複平面上全純函數的路徑積分的重要定理】、「洛朗級數」（Laurent expansion）【洛朗級數包含正負次數的項，無法表示為泰勒級數的複變函數可表示為洛朗級數】等基本概念。

那時的老師們好像一般都覺得，能用愈深的教科書（其實每本書都號稱是自成一體的），學生自然就會變得愈「高檔次」吧！其實抽象數學的出發點多半起始於對實際問題所建立的數學模型。然後將解決問題的方式建立理論，再抽象化，希望能覆蓋更一般性的同類問題。因此在學習較高深的抽象數學理論之前，多多少少要對最原始的出發點和工具有些基本的認識。

要不然，若是一開始就搞些莫名其妙的抽象定義，推些莫名其妙的抽象定理，學生根本無法知道到底是在幹些什麼。可是為了考試過關，只好跟著背定義、背定理、背邏輯，一團混戰。對基礎數學實質上的認識真是微乎其微。我們那時的學習環境大致如此。所以我那時檔案裡的記錄雖然極為令人印象深刻，但是如今回想起來，當時實在是「一竅不通」。背定理、背邏輯最多只能應付考試。畢業服完兵役以後，絕大多數以前所學都忘了。

3. 師從約克

老實說，在出國前，我真想放棄數學。後來在美國遇到了導師約克教授。從他那裡，我才慢慢對學數學和數學研究有了些初步的認識。這些認識大大開闊了我以後學習數學的視野和方式。最重要的是，學習「高檔次」的數學理論，絕對必須從對「低檔次」數學的理解出發。

我常常覺得自己的數學生涯實在是太幸運了。記得那年在凱洛格（B. Kellogg）教授所開「非線性數值分析」的課堂上聽到他講關於赫希（M. Hirsch）用微分拓撲的反證法證明「布勞威爾（Brouwer）不動點」的存在定理【布勞威爾不動點定理，是拓撲學裡一個重要定理，可應用到有限維空間並構成了一般不動點定理的基石。布勞威爾不動點定理得名於荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（L. E. J. Brouwer）】

其實我覺得只要把赫希的證明稍稍做些變動（這個變動大概不超過原來證明的1%吧！），就可以輕易地把他的反證法（「……若『不動點』不存在，則天下會大亂……」）變成一個找這些不動點的實際方法。後來和導師約克教授提起了我的看法。記得那時擺在我面前的研究課題有好幾個，沒想到約克教授卻堅持要我全力以赴地去實踐這個算法的構想。

老實說，那時我心裡最不想做的就是這個問題。首先，我那時根本不懂計算（連基本的 Fortran 語言【為滿足數值計算需求而發展出來的電腦程式語言，於 20 世紀 50 年代末由 IBM 公司開發】都不會）。另外，我們那時並沒有什麼「工作站」、「個人電腦」，所有計算程序都必須打在卡片上（一行一張卡），然後把它們送去計算機中心，他們用學校僅有的兩臺機器替你跑程序。

接下來就看你的運氣了，有時二十分鐘之後就有結果，有時要等兩三個小時甚至更長時間。還有一個不想做這個題目的理由：那時總以為數學研究總是要證些定理什麼的，搞些 ε-δ 的玩意兒，我對算布勞威爾不動點的構想即使可以順利運作，好像也無法推出什麼定理來。不管怎樣，在我們那個年代，好像老師叫你做什麼，你照著做就是了。雖然我自己心中極不熱衷這個題目，但是從裡到外都毫無排斥的意識。

記得我是在 1974 年 1 月中開始著手這個問題。關於寫程序，甚至打卡都只好一面做一面學。我幾乎每天在清晨 6 點半就送卡片去計算機中心，然後是等結果、改程序、等結果、改程序……常常弄到半夜 12 點多。每次等到的結果都因程序或算法的錯誤，基本上拿到的都是一大沓廢紙。後來，去計算機中心拿(或等)一沓廢紙好像已經變得習以為常了。記得是 3 月 15 日那天早上，我到計算機中心拿到的結果卻只有薄薄的幾頁。起先心中只是大為疑惑：今天是怎麼回事？沒想到打開一看，居然算出「不動點」來了！那是個 100 維的問題！

說實在的，我那時心中並沒有很大的成就感。這就好像老師要我去掃廁所，我終於把廁所打掃乾淨了，如是而已。沒想到，大約在一個月後，約克教授在美國數學學會的Notice【即 Notices of the American Mathematical Society，美國數學會雜誌】上看到一個將在當年6月26-28日在南卡羅來納州的克萊姆森大學（Clemson University）舉行「不動點計算及應用國際會議」（International Conference on Computing Fixed Points with Applications）的消息。

完全出乎我們意料之外的是，從 1967 年開始就有一大群人在研究布勞威爾不動點的算法。這些人多半是出自名校經濟系、商學院、作業研究、工業工程等系所的教授，因為許多經濟學裡的模式的「均衡點」（Equilibrium）都可以用布勞威爾不動點的方式來表達，因此布勞威爾不動點的運算變成了實際應用上的一個重要工具。

這個會議顯然邀請了那個門派所有的重量級人物去做報告。約克教授在知道這個會議的信息之後，立刻打了個電話給這個會議的主辦人卡拉馬爾迪昂（S. Karamardian），告訴他我們有一個新的算法。當時卡拉馬爾迪昂也只是半信半疑地勉強答應提供我們兩張往返克萊姆森的機票。後來我和凱洛格（Kellogg）教授一起參加了那個會議。我們在那裡「一鳴驚人」。後來耶魯大學經濟系的講座教授斯卡夫（H. Scarf，他是當初在 1967 年，第一個提出布勞威爾不動點算 法的）在會議論文集的簡介裡說：

「……對於我們中的很多人來說，在克萊姆森會議中給我們極大驚喜的是凱洛格、李和約克的一篇文章，文中他們給出了第一個通過使用微分拓撲裡的連續映射來計算不動點的方法，而不是使用我們傳統的組合方法。在這篇文章中，作者們同樣給出了為何赫希的論證可以用來定義從任意指定的邊界點到不動點的路徑……」

附帶一提的是，我們算法中所引用的微分拓撲概念，後來在解非線性問題數值計算的「同倫算法」中起了「革命性」的作用。

4. 為將來的幸運做好準備

前一陣子，我在美國一個期刊上讀到一篇成功企業家退休後所寫的感言，其中讓我一直無法忘卻的一句話是：

「……一個人必須為或將得到的幸運而做好準備……」

回想當初我在掙扎是否研究不動點的運算時，實在有很多藉口可以像我曾經接觸過的一些學生似的拖宕、躲閃、騙自己、拒絕幹活……若真如此，這個天上掉下來的「萬年火龜」不是輕易擦身而過了嗎？

有一次和約克教授閒聊起關於「智商」的話題。一般來說，他並不太看重「智商」的高低。記得那時他說，「……在伯克利大學的人一般說來有高智商。但你很難相信他們在做多麼笨的問題，我們將選擇好的問題以超出他們 20 點的智商打敗他們……」。這些話雖然略為邪門，但是這些年來，每次遇到該選什麼研究題目時，總是想起他的這些話。

回想當初若給我一個選擇，我絕不會拼了命去算布勞威爾不動點，心裡真正想搞的倒是在那時偏微分方程領域裡相當時髦的單調算子（Monotone operator），那時有許多知名的 人物（像是哈特曼（Hartman）、斯坦帕基亞（Stampacchia）、明蒂（Minty）、老萊昂（Lion）……）都在研究它。可是現在看來，那個時期在單調算子領域裡的工作，幾乎沒有一個裡程碑性的成果能夠保留到今天。

這些年來，我個人曾直接接觸過一些數學界的頂尖高手，但是若談到判斷題目意義的本領，我的導師約克教授在這方面的功力的確深厚，絕不輸那些「頂尖高手」。這也許是我自己最大的幸運吧！

我從清華大學畢業已將近四十年了。有時常常想，若是重新再給我一次學習的機會，我將怎麼做……但是

「沒有人能使時光倒流，草原再綠，花卉再放。只有在剩餘部分，爭取力量！」【摘自作者中學時期看過的一部由華倫比提和娜妲麗華主演的電影《天涯何處無芳草》。】

所以，重新再給我一次機會的事只是幻想。我希望我的經歷能在諸位長遠的數學研究、學習、甚至教學上貢獻一點什麼。