三角形是初中數學裡最基本的幾何圖形，而其邊上中點，又是很常見的條件。當涉及三角形中點或中線問題時，常採用延長中線一倍的辦法，即倍長中線法，來作輔助線解題。好處是通過此法構造全等三角形繼而得到平行，可將分散的條件集中在一個三角形內解題，常常出奇制勝，化腐朽為神奇。且看模型的探究，和模型產生的基本結論及應用。
[問題提出]
如圖1，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值範圍．
[問題解決]
解決此問題可以用如下方法，延長AD到點E使DE＝AD，再連結BE（或將△ACD繞著點D逆時針裝轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，可得△DAC≌△DEB得AC＝EB，再根據三角形三邊關係求得AE的取值範圍，由此得出中線AD的取值範圍是 1＜AD＜5.
【模型歸納】
【簡單應用】如圖2，如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的長
【解析】延長AD到E，使得AD＝DE，連接BE，可證明△DAC≌△DEB得AC＝EB，再證明∠AEB＝90°，由勾股定理求得BD=√13，進而得BC＝2BD＝2√13；
[拓展應用]
如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點D作DF⊥DE交邊AC於點F，連結EF，已知BE＝4，CF＝5，則EF的長為______
【解析】延長FD到G，使得DG＝FD，連接BG，EG，可證明△CDF≌△BDG，得BG＝CF，∠DCF＝∠DBG，再證明∠EBG＝90°，由勾股定理求得EG=√41，由線段垂直平分線性質得EF=EG=√41，．
【點評】本題考查幾何變換綜合題、三角形的中線、勾股定理、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，體會出現中點的輔助線的添加方法，屬於中考壓軸題．由此可歸納如下模型
[變式拓展]
1．（2019春崇川區校級月考）如圖1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D是BC邊的中點連接AD，則易證AD＝BD＝CD，即AD＝1/2BC；如圖2，若將題中AB＝AC這個條件刪去，此時AD仍然等於1/2BC．
理由如下：延長AD到H，使得AH＝2AD，連接CH，先證得△ABD≌△CHD，此時若能證得△ABC≌△CHA，
即可證得AH＝BC，此時AD＝1/2BC，由此可見倍長過中點的線段是我們三角形證明中常用的方法．
（1）請你先證明△ABC≌△CHA，並用一句話總結題中的結論；
（2）現將圖1中△ABC摺疊（如圖3），點A與點D重合，摺痕為EF，此時不難看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若圖2中△ABC也進行這樣的摺疊（如圖4），此時線段BE、CF、EF還有這樣的關係式嗎？若有，請證明；若沒有，請舉反例．
（3）在（2）的條件下，將圖3中的△DEF繞著點D旋轉（如圖5），射線DE、DF分別交AB、AC於點E、F，此時（2）中結論還成立嗎？請說明理由．圖4中的△DEF也這樣旋轉（如圖6），直接寫出上面的關係式是否成立．
【解析】（1）想辦法證明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS證明△ABC≌△CHA即可，可得結論：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
（2）有這樣分關係式．如圖4中，延長ED到H山頂DH＝DE．證明△EDB≌△HDC（SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，線段的垂直平分線的性質即可解決問題．
（3）圖5，圖6中，上面的關係式仍然成立．結論：EF2＝BE2+CF2．
證明方法類似（2）．
【點評】本題屬於幾何變換綜合題，考查了旋轉變換，翻折變換，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬於中考壓軸題．
2．（2018秋吳興區期末）我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）並縮短一半得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉β並縮短一半得到AC'，連接B'C'．當α+β＝180°時，我們稱△AB'C'是△ABC的「旋半三角形」，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的「旋半中線」，點A叫做「旋半中心」．
特例感知：
（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的「旋半三角形」，AD是△ABC的「旋半中線」．
①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數量關係為AD＝______ BC；
②如圖3，當∠BAC＝90°，BC＝4時，則AD長為 _______ ．
猜想論證：
（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數量關係，並給予證明．
拓展應用：
（3）如圖4，在平面直角坐標系中，△ABC的坐標分別是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的「旋半三角形」，AD是△ABC的「旋半中線」，連結OD，求OD的最大值是多少？並請直接寫出當OD最大時點D的坐標．
【解析】（1）①首先證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD＝1/2AB′即可得AD＝1/4BC，；
②首先證明△BAC∽△B′AC′，根據直角三角形斜邊中線定理即可解決問題AD=1；
（2）結論：AD＝1/4BC．如圖1中，延長AD到M，使得AD＝DM，連接B′M，C′M，首先證明四邊形AC′MB′是平行四邊形，再證明△BAC∽△AB′M，即可解決問題；
（3）如圖4中，先確定OD最大值時，D的位置，D在以A為圓心，以1為半徑的圓上，則當D運動到直線OA與半圓相交時OD最大，求此時OD的長並確定其坐標．
∵A（4，3），∴OA＝5，
∵AD＝1，∴OD的最大值是6．
過A作AE⊥x軸於E，過D作DF⊥x軸於F，
∴AE∥DF，∴△AOE∽△DOF，
∴OA/OD=OE/OF=5/6=AE/DF＝，
∵OE＝4，AE＝3，∴OF＝24/5，DF＝18/5，∴D（24/5，18/5）．
常規的倍長中線可以出全等，但需要證明「三點共線」，遇到「中點+平行」，我們「延長出全等」，而非「倍長出全等」. 用「倍長中線法」作輔助線解幾何題，是一種重要的技巧套路。它可以有效地生發出全等、平行等基本條件，關聯好多基本圖形，幫助解題，大家務必好好掌握。也給我們解題的啟示：抓住核心，找到關鍵，才能快速解題。
在數學問題的解決過程中伴隨著一系列的心智活動，無論進行過程是否順利，都將給人以啟迪和力量。「細雨溼衣看不見，閒花落地聽無聲。」像這樣在挑戰數學典型問題的徵途中，經歷深入思考、體驗，我們的知識、方法、能力、智慧、意志力一定悄然得以提升。