《知識梳理》
利用倍長中線法證明三角形全等
(1)「倍長中線」是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然後往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等.常用於構造全等三角形.倍長中線法多用於構造全等三角形和證明邊之間的關係(通常用「S.A.S.」證明).
注意：一般都是原題已經有中線時用，不太會有自己畫中線的時候.
(2)基本模型：在△ABC中，D是中點.
延長AD至E，使DE=AD，結論：
①△ACD△BDE△ABD△ECD②AC=BE,AC//BE③AB=EC,AB//BC④四邊形ABEC是平行四邊形.
上述結論可以證明很簡單，比如說可以用「S.A.S.」證明全等即可.
《方法點撥》
(1)三角形是初中數學裡最基本的幾何圖形，而其邊上中點，又是很常見的條件.當涉及三角形中點或中線問題時，常採用延長中線一倍的辦法，即倍長中線法，來作輔助線解題.好處是通過此法構造全等三角形繼而得到平行，可將分散的條件集中在一個三角形內解題，常常出奇制勝，化腐朽為神奇.
(2)基本模型變式
在△ABC中,D是BC的中點
①△BDE△CDF
②BE=FC,BE//FC
①△BMD△CND②BM=NC,BM//NC
(3)口訣：三角形中有中線，延長中線等中線.
《實戰演練》
【分析】延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，可證明△BDG≌△CDA（SAS），則BG＝AC，∠CAD＝∠G，根據AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可證出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
【分析】根據等分點的定義判斷①；證明△ADB≌△FDE，得到AB＝EF，根據三角形三邊關係判斷②；仿照②的方法判斷③；根據②③的結論判斷④．
【點評】本題考查的是三角形的三邊關係、全等三角形的判定和性質，掌握三角形的兩邊之和大於第三邊是解題的關鍵．
【分析】延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根據三角形三邊關係定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關係定理的應用，主要考查學生的推理能力．
【分析】由在正方形ABCD中，∠GEF＝90°，易證得△AGE∽△BEF，又由E為AB的中點，AG＝1，BF＝2，根據相似三角形的對應邊成比例，易求得AE與BE的長，然後由勾股定理求得答案．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．
【分析】把三角形ACB繞斜邊中點F，旋轉180°後，得到一個四邊形ACBM為矩形，然後根據對頂角相等，兩直線平行，內錯角相等和F為AB的中點三個條件證明三角形ADF與三角形BHF全等，得到DF與HF相等，同理證明三角形AFG和三角形EBF全等，得到GF與EF相等，得到四邊形DEHG為平行四邊形，又DH與GE垂直，得到DEHG為菱形，得到DG與DE相等，根據勾股定理，由AD＝3，AG＝4，求出DG的長即為DE的長．
【點評】此題考查了菱形的判別方法，靈活運用三角形全等的方法解決實際問題，靈活運用勾股定理化簡求值，是一道綜合題．