循環論證

2021-01-13 玖的數學天地MathUniverse

寫在前面

上次的排版可能有點問題，電腦版和手機版看的不同，我當時是按照電腦版排版的，也沒太在意手機版的排版，所以在這道個歉。


正文內容

大家好，我是玖

最近在挺多數學群看到在學習高數/數分的萌新,印象中他們問的最多的一道題,如下：

                             

(同濟高數P66習題1-9的3(6))

他們對於本題的問題是：能否使用洛必達法則來解決這題

(思考分割線)


答案：當然不能

首先我們回顧兩個知識點：

1.洛必達法則:分為(和 )型

( 型不定式)若函數  和 

在點的某空心鄰域上兩者皆可導,且

其中(3)中的可為實數,也可為


同理對於( 型不定式)也一樣（不過多贅述）


2.導數的定義:

設函數在點的某鄰域內有定義,若極限

                      

存在,則稱函數  在點處可導,並稱該極限為函數  在點  處的導數,記作

或者:令，，則上式可以改寫為

                     


其實寫到這裡,為什麼不能這個問題已經能得到解決了，對於上面的極限題

                     

這道題滿足 型不定式但是卻不能運用洛必達的原因：這個式子是導數的定義,實際上題目的意思是要求你證明，而用洛必達法則求導得到結果無疑是循環論證.



循環論證是什麼？

舉例說明:「為什麼長得胖？因為我吃得多。」

「為什麼吃得多？因為我長得胖。」

這兩段話就是經典的循環論證，他的最大特點是同義重複.


那麼這道極限題應該如何做？

首先我們複習下高中的和差化積公式：

               

那麼對於上面的極限

 

 

到這裡我們就已經證明了,即這道題已經被我們解決了.


寫在最後

也不知道為什麼對於大多數初學高數的學生，洛必達法則似乎是他們求極限的一個法寶,每次見到極限題他們就

無論是玩梗也好，還是認真也好，我認為洛必達其實是一個不太好的方法，(能用洛必達的題目大多數能用其他方法解決)，畢竟洛必達法則失效的題目不計其數，譬如

                            

這題是 型不定式，當然可以洛必達法則，只不過洛必達法則會將你引進一個循環。


心裡話

（最近大家也不要來公眾號催更，因為一是抽不出太多時間，二是關於公眾號排版和數分我也在慢慢學，三是有的時候沒思路真的寫不出文章，四是這個公眾號是我一個人在運營。可能這兩次文章寫的都特別水，以及排版看的不舒服，我也會盡力改正的。距離下次更文章可能會鴿一段時間，因為最近沒什麼更新的想法了，就到這裡吧，晚安。）


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