來源：CFD控微信公眾號（ID：fj_chenzhibin）
給出動量定理在流動中的體現形式，首先是分析流動與受力的關係，然後得出簡單流動的動量方程。當流動較為複雜時，要採用微分形式，也就是拉維斯託克斯方程，簡稱NS方程。最後，分析動量方程中各項的含義，並針對具體的流動粒子看一下它的應用。
流體的運動遵循牛頓定律，所以流動形式直接作用於流體上的力。
來看一個變截面通道內的流動與壓力的變化。這個流動屬於不可壓縮流動，流速與流道橫截面積成反比，而各截面處的壓力則可以從吸上來的水柱高度來判斷。可以看出，截面越小，流速越大，而壓力就越低。一般這種流動用於伯努利原理的解釋，但從根本上來說，流體遵循的是牛頓定律。
這裡給出三個流向位置的速度，從截面積判斷，V2 大於V1，V3 小於V2。
流體的加減速是如何產生的呢？現在只研究收縮段，分析流體經過收縮段加速的原因。在收縮段中部，取一個流體微團。顯然，這個流體微團具有向右的加速度，那麼它所受到的合力就應該是向右的。這個合力只能是它四周的流體給他的，確切的說是壓差力產生的。這裡畫出微團表面的壓力分布，可以看出左側的壓力大於右側形成的壓差力，這就是微團加速運動的原因了。
通過收縮段的所有流體微團都是在這樣的壓差力作用下加速的。把整個收縮段看作一個控制體，一定是進口的壓力大，出口的壓力小。與壓差力對應，收縮段進口流速小，出口流速大。所以，流體的加減速運動從根本上來看是遵循牛頓第二定律的。
現在我們再來看一個氣球放氣時的推力問題。如果直接對氣球內的氣體應用牛頓第二定律，公式是這樣：
式中，m 為氣體的質量，v 為氣體的速度，這屬於拉格朗日法。
如果用表示氣體單位時間內的動量變化，這個動量變化是多少呢？這要把氣體分為兩部分，考慮保持在氣球內的和從噴口排出的。
假設從噴口排出的氣體流速是v，單位時間排出的氣體質量是δm，那麼所有氣體的動量變化是δm 乘以v 嗎？不完全是，因為氣球內的氣體質量發生了變化，並且產生了一定的流動，所以整體的動量變化是兩部分之和，也就是還在氣球內那部分氣體的動量的變化和流出那部分氣體的動量變化。
把動量變化帶入到牛頓第二定律公式中，就得到了這樣的關係：
這裡右邊第一項是控制體內動量的變化；第二項是流出控制體的動量。這個方程是針對控制體的，所以是歐拉法的動量方程。在很多問題中流動是定常的，既控制體內的性質不隨時間變化，這時作用於控制體上的力的效果是使進出控制體的流體動量不同。
這個關係式適用於進出口處是一維流動的情況，這時動量流量可以用質量流量與速度的乘積來表示。
現在我們來看這樣一個問題，這是一些靜止的空氣微團，現在有飛機從這些空氣中飛過，微團受到擾動後的運動趨勢是這樣的。
這當然是飛機給他們的作用力造成的。我們知道勻速飛行的飛機上大體有四種力的作用，分別是重力、升力、推進力和阻力。這四種力中，除了重力以外，其他三種力都是氣流對飛機的作用力，氣流給飛機提供向上的升力，對應著飛機給氣流向下的作用力。根據動量方程飛機給空氣向下的力，空氣就具有了向下的速度，在水平方向上。飛機外表面帶動空氣向前運動，而發動機則把空氣排向後方。被飛機帶動向前的空氣給飛機向後的阻力，而被發動機排向後方的空氣給飛機向前的推力。因為飛機勻速飛行時，推進力和阻力是相等的，所以飛機飛過後，空氣整體並無水平方向的速度，但具有向下的速度。
從動量方程的角度來說，所有依靠空氣產生升力的物體都需要把空氣排向下方。這種理解升力的思路在直升機上更好理解。我們都知道，直升機是靠旋翼把空氣排向下方來產生升力的。鳥類飛行也是一樣，是靠翅膀把空氣排向下方和後方，才能產生升力和推進力。懸停的火箭則有所不同，它排向下方的氣體是自身攜帶的。
接下來，看一看飛機發動機推力的計算。這是一個簡化的飛機發動機模型，用一個涵道風扇來代替。發動機吊飛機上，通過吊架給飛機提供推力；反過來，飛機就通過吊架給發動機向後的拉力。現在取虛線所示的圓柱體為控制體，通過分析它的受力來求推力。
以發動機為參照物，氣流從左側流入控制體，從右側流出。根據動量方程可以確定控制體所受的合力，進出口動量的關係：
一般在巡航狀態下，氣流直接進入發動機，而沒有加速或減速。流速等於飛行速度，所以進口處的壓力等於大氣壓Pin=Pa ，只要出口的氣流速度為亞音速，則出口處的壓力也為大氣壓Pout=Pa。於是可知控制體進出口壓力相等，其上作用的力只有飛機的拉力T。這樣，我們就得到了飛機發動機推力的表達式：
這裡面是流經發動機的空氣品質，vout 是出口氣流相對於發動機的速度，v 是進口氣流相對於發動機的速度，其實也就是飛機的飛行速度。
現在來看一下飛機的升力和阻力。以機翼為參照物，遠前方的空氣水平流向機翼，在機翼上產生升力和阻力。根據動量定理，這必然導致空氣的向下偏轉和減速。空氣的向下偏轉對應著升力，減速對應著阻力，分別可以用圖中動量方程表示出來。
不過，氣流經過機翼後，並不保持勻速的流動，出口速度與位置有關，這時是不能簡單的取出口速度平均來計算升力和阻力的。因為動量方程中的流量也是與速度有關的，所以應該對動量整體進行積分。
在這個例子中，流場不是一維流動，雖然升力和阻力仍然可以用簡單的積分解決。但是，如果想知道機翼表面的流速和壓力分布，簡單的動量方程就不能勝任了。
這時，我們就需要微分形式的動量方程。對於流經機翼表面的一個流體微團來說，其上作用著體積力和表面力。在這個圖裡，藍色的箭頭表示X 方向的作用力。紅色的箭頭表示Y 方向的作用力，X 方向作用力的合力使流體微團產生X 方向的加速度；Y 方向作用力的合力使流體微團產生Y 方向的加速度。
體積力比較簡單，可以用作用於微團質心的集中力來表示，表面力分為正應力和切應力，四個面上的正應力切應力如圖所示。設微團在垂直壁面方向的厚度為1，就可以分別寫出沿X 方向和沿Y 方向力的表達式。
X 方向合力：
Y 方向合力：
現在我們只看X 方向的力與運動的關係：
在X 方向合力的作用下，微團在X 方向產生加速度ax，加速度的表達式我們已經講過了，是速度的物質導數形式：
把力與加速度帶入到牛頓第二定律公式中，就得到了X 方向的動量方程，同樣也可以得到Y 方向和Z 方向的動量方程。這三個分量形式的方程，組成了流體微分形式的動量方程：
不過這個方程並沒有直接的用處，因為其中的正應力和切應力都是未知的。流體中的應力與流動的關係我們是知道一些的，牛頓粘性力公式就是一個。對於不是沿著坐標軸的剪切來說，這個粘性力公式可以寫成更一般的形式。
這就是流體切應力與切應變率的關係。正應力主要由壓力組成，粘性力也有一點貢獻。歷史上，斯託克斯在牛頓粘性力公式的基礎上通過一定合理的假設，得出了廣義的牛頓粘性定律公式。其中，X 方向正應力的關係式是這樣的：
類似的還有其他正應力和切應力的關係τyy、τzz、τzx，切應力是對稱的，比如τxy ·τyx，一共只有三個獨立切應力。正應力也是三個，這六個應力的關係式表示了牛頓流體中應力與流動之間的關係，稱為廣義的牛頓粘性定律公式，也稱為牛頓流體的本構方程。把本構方程帶入到動量方程中，就得到了最終的動量方程，這是寫成矢量形式的動量方程：
因為這個方程的推導過程中，納維和斯託克斯兩人的貢獻最大，所以稱之為納維和斯託克斯方程，簡稱為NS方程。這個方程是二階非線性的偏微分方程，對一般流動不容易得到解析解，所以流體力學又發展了各種簡化的和替代的方法來解決實際的流動問題。
現在我們來分析一下N-S方程的物理意義。N-S方程是動量定理，在流體運動中的應用無非就是力與動量變化的關係。
在這個式子中，等式左邊是加速度，也就是單位質量流體的動量變化。如果我們跟著微團一起運動，這個加速度就體現為慣性力，所以有時成為慣性項。方程右端第一項是體積力，第二項是壓差力，第三和第四項是粘性力。由於在常見的大多數流動中，粘性力、壓差力也小得多，很多流動經常可以簡化為無粘流動，即粘性力項為零。這時二次方程退化為歐拉方程，既無粘流動的動量方程：
如果流體是靜止的，粘性項自然為零，同時慣性力項也為零。方程就蛻化成歐拉靜平衡方程：
如果在無粘的條件下再加上一維和定常流動的條件，則方程變成這樣的形式：
對這個方程進行積分，並加上不可壓縮的條件，就得到了伯努利方程：
所以，伯努利方程的應用條件就是定常不可壓，並且沿一條流線。
最後，我們通過一個管道流動的例子來進一步理解動量方程。
對於無限長的管道內部的流動來說，如果流動是層流的，是有解析解的，現在我們用控制體方法來分析一下這種流動。取包含管道內所有流體的圓柱體為控制體，其兩端作用有壓力，而四周的圓柱面上作用於壁面給流體的剪切力，即摩擦阻力。
對無限長管道流動，流體流速沿流動方向不變。所以，壓差力產生的驅動力和剪切力產生的阻力平衡。整理後就可以得到單位長度壓降的關係：
壁面剪切力τw 是未知的，還需要額外的關係式才能得出更有用的結果。現在取這樣的一個控制體，其直徑D 是任意的。仍然可以使用上述關係式，只不過這時關係式中的剪切力不再是壁面處的，而是任意半徑處的剪切力τ。
補充一個牛頓粘性力公式，並考慮壁面的無滑移邊界條件：
根據這些關係式和邊界條件，可以解出管內的流速分布：
可以看出速度沿半徑方向是二次分布的，在中心線上取得最大。一般管道流動問題中，我們已知的是流量，從而可以知道各截面上的平均流速。如果對流速關係式進行積分，就可以發現最大速度是平均速度的兩倍
這樣，我們就得到了單位長度壓降與平均速度和管徑的關係：
這是個很有用的關係，可以直接通過管徑和流量得出壓力損失。我們這裡是通過控制體法得出的，這個結果實際上也可以直接求解NS方程得出。這種流動稱為哈根-泊肅葉流動，是少數幾種已經得到解析解的流動。
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