美國原子能委員會以往處理濃縮的放射性廢料的方法，一直是把它們裝入密封的圓桶裡，然後扔到水深為 90 多米的海底。生態學家和科學家們表示擔心，怕圓桶下沉到海底時與海底碰撞而發生破裂，從而造成核汙染。原子能委員會分辯說這是不可能的。為此工程師們進行了碰撞實驗。發現當圓桶下沉速度超過 12.2 m/s 與海底相撞時，圓桶就可能發生碰裂。這樣為避免圓桶碰裂，需要計算一下圓桶沉到海底時速度是多少? 已知圓桶質量為 239.46 kg，體積為 0.2058m3 ，海水密度為 1035.71kg/m3 ，如果圓桶速 度小於 12.2 m/s 就說明這種方法是安全可靠的，否則就要禁止使用這種方法來處理放射性廢料。假設水的阻力與速度大小成正比例，其正比例常數 k = 0.6 。
現要求建立合理的數學模型，解決如下實際問題：
（1）判斷這種處理廢料的方法是否合理?
（2）一般情況下，v 大，k 也大；v 小，k 也小。當v 很大時，常用 kv 來代替k ， 那麼這時速度與時間關係如何? 並求出當速度不超過 12.2 m/s，圓桶的運動時間和位移 應不超過多少? ( k 的值仍設為 0.6)
（1）問題一的模型
首先要找出圓桶的運動規律，由於圓桶在運動過程中受到本身的重力以及水的浮 力 H 和水的阻力 f 的作用，所以根據牛頓運動定律得到圓筒受到的合力 F 滿足
F = G − H − f （39）
s(t) = 90m ，求得圓筒到達水深90m的海底需要時間t =12.9994 s，再把它帶入 方程（43），求出圓桶到達海底的速度為v =13.7720m/s。顯然此圓桶的速度已超過12.2m /s ，可以得出這種處理廢料的方法不合理。因此， 美國原子能委員會已經禁止用這種方法來處理放射性廢料。
計算的 Matlab 程序如下：
clc,clear
syms m V rho g k
s=dsolve('m*D2s-m*g+rho*g*V+k*Ds','s(0)=0,Ds(0)=0');
s=subs(s,{m,V,rho,g,k},{239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6});
s=vpa(s,10) %求位移函數
v=dsolve('m*Dv-m*g+rho*g*V+k*v','v(0)=0');
v=subs(v,{m,V,rho,g,k},{239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6});
v=vpa(v,7) %求速度函數
y=s-90;
tt=solve(y) %求到達海底 90 米處的時間
vv=subs(v,tt) %求到底海底 90 米處的速度
（2）問題二的模型
從這個模型，我們也可以得到原來處理核廢料的方法是不合理的。計算的 Matlab 程序如下：
clc,clear
syms m V rho g k t real
v=dsolve('m*Dv-m*g+rho*g*V+k*v^2','v(0)=0');
v=subs(v,{m,V,rho,g,k},{239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6});
v=vpa(v,7) %求速度函數
v1=real(v),v2=imag(v) %求速度函數的實部和虛部
tt=solve(v1-12.2) %求時間的臨界值 T
s=int(v1,0,tt) %求位移的臨界值
（3）結果分析
由於在實際中 k 與v 的關係很難確定， 所以上面的模型有它的局限性，而且對不 同的介質，比如在水中與在空氣中 k 與v 的關係也不同。如果假設 k 為常數的話，那麼 水中的這個 k 就比在空氣中對應的 k 要大一些。在一般情況下， k 應是 v 的函數，即 k = k(v)，至於是什麼樣的函數，這個問題至今還沒有解決。這個模型還可以推廣到其它方面，比如說一個物體從高空落向地面的道理也是一樣 的。儘管物體越高，落到地面的速度越大，但決不會無限大。