我們在上一篇裡對時空的旋轉變換進行了分析。一般的旋轉變換構成了洛倫茲群，沒有時間或者空間反演的旋轉變換則構成了它的一個子群，即受限洛倫茲群。受限洛倫茲變換可以用特殊線形群SL(2,C)的元素來表示。如果我們繼續限制到三維空間的旋轉變換，那麼就可以用SL(2,C)的子群，特殊么正群SU(2)的元素來表示。角動量的三個分量由SU(2)群李代數的三個基底，即所謂的泡利矩陣給出。注意到角動量作為量子力學的觀測量，必須是希爾伯特空間的線形算符，它們由旋轉群在希爾伯特空間的群表示給出。
接下來我們對角動量進行量子化，也就是對希爾伯特空間關於角動量算符進行譜分解。由於三個角動量算符非對易，它們無法被同時對角化。也就是說，它們的譜空間（特徵空間）是相互交叉的（見《量子力學的數學原理》）。如果我們定義，利用上一篇裡的角動量算符對易關係得到
也就是說，和 對易（也與和 對易），因此可以對希爾伯特空間關於和 作譜分解，每個譜空間都對應這兩個算符的特徵值，記作 a和 b。我們可以構造和對易的「階梯算符」，有對易關係。如果計算階梯算符對 a和 b的影響，可以得到（是該譜空間的一個態矢量）：
可見階梯算符不改變 a，卻使 b產生離散的（階梯狀）的改變，因此的確是一種「量子化」。由算符 的正定性可知，。因此對於給定的 a，b是有界的，把它的最大值記為，那麼對於特徵值為 和的譜空間使用 必定得到0（為什麼？）。因此對於該譜空間的某個態矢量，有
由這個等式可以得到。相應地，我們也可以得到 b能取到的最小值為。由於階梯算符每次只能對 b 加減1，因此 b 的最大值和最小值之間的間隔必須是一個整數，也就是，因此。如果我們把記作，那麼 a 就等於，並且 b 的所有取值為。
上面的量子化用到的唯一條件就是角動量分量之間的對易關係，而跟角動量具體的表達式無關，因此對軌道角動量和自旋角動量都適用。在軌道角動量的情況下，上式給出的就是角量子數， 是磁量子數；在自旋角動量的情況下，就是該粒子的自旋（對於電子)。但是事實上，角量子數的取值永遠是整數 0,1,...，為什麼不能是半整數？讓我們考慮在空間旋轉下的量子態變換。對角動量分量 的一個特徵矢量，有。如果我們繞z軸轉一圈，有。如果取半整數，那麼的所有取值均為半整數，因此。如果角量子數是半整數，那麼轉一圈後（電子繞原子核的）軌道波函數就和原來差了一個負號，而這顯然不可能。因此角量子數只能取整數。反之，對於自旋角動量 卻可以是半整數（比如電子的自旋就是1/2），這意味著旋轉一圈後波函數多了一個負號（旋轉兩圈才能回到原來的波函數）。這樣的具有半整數自旋的粒子稱為費米子。
對於這個反直覺的性質（波函數旋轉一圈後不重合），可以把波函數裡描述自旋的部分提出來，使得剩下的那部分軌道波函數仍然符合直覺。拿出來的那個量就稱為旋量。接下來我們研究旋量在洛倫茨群下的變換法則。首先要說的是，不同的對應了不同的SU(2)群表示（即把群元素映射到矩陣上並且保持群運算)：對給定的，SU(2)群的元素可以映射到一個的矩陣上，這個矩陣的第個元素（記作）為（其中為特徵值為和的譜空間裡的某個向量。證明這個元素的值與向量的選取無關）。事實上，把SU(2)群元素看作希爾伯特空間上的矩陣，那麼它在行列為處的元素是。然而如果，由於和均不改變，因此上式等於0（態矢量的正交性）。這樣我們就可以把看作一個分塊的對角矩陣，其（非零的）對角分塊為。因此群運算皆可在這些對角分塊上進行：矩陣 的對角分塊為，矩陣的對角分塊為。可見由到的映射的確保持了群運算。
當我們談論「基本粒子」時，我們談論的其實就是這裡的某個對角分塊，稱為SU(2)群的不可約表示。特別的，當自旋 取1/2時，旋量有兩個分量，SU(2)群的表示就是對這個兩分量旋量的SU(2)變換（即SU(2)群的基本表示）。這一般稱作旋量表示，這種旋量稱作「二重態」。自然，SU(2)群只是受限洛倫茲群SL(2,C)的一個子群，因此洛倫茲群應該具有更豐富的不可約表示才對。注意到SL(2,C)的李代數有六個基底（），除了三個反映空間旋轉的泡利矩陣外，還有另外三個分別反映了沿x軸、y軸和z軸的洛倫茲變換（即慣性參照系的變換）。我們可以用兩個SU(2)李代數的直和來表示SL(2,C)的李代數，因此洛倫茲群的不可約表示不是用一個 來標記，而是用兩個。我們可以認為第一個 反映了「左旋」的旋量，第二個 反映了「右旋」的旋量。因此我們可以用(1/2,0)來標記左旋的電子，用(0,1/2)來標記右旋的電子，而作為四分量矢量的光子，則對應了(1/2,1/2)的不可約表示。可見，基本粒子是由變換群的不可約表示來分類的，或者乾脆採用結構主義的觀點，認為粒子就是變換群的不可約表示。
接下來我們只考慮第一個，也就是左旋量。一般的，自旋為 的旋量有個指標，可以表示為。如何把洛倫茲變換 A 映射到關於的線形變換？最直接的答案就是把每一個指標都當作一個獨立的旋量表示（即自旋1/2的表示）。這樣旋量在洛倫茲變換下一般的變換規則就是這些旋量的乘積：
其中是SL(2,C)的元素，用來表示某個受限洛倫茨變換。特別地，在自旋為 1/2的情況下，可以用6個參量寫出 A （或者旋量表示）的表達式（這六個參量分別是三個旋轉角度和三個慣性系速度）：
注意到前面這一項是SU(2)群的元素，反映了空間旋轉。後面這一項反映了洛倫茲變換，為什麼採用這個形式？因為的行列式是1，如果我們把寫成指數的形式，根據（證明它）有。因此可以在跡為0的獨立矩陣的基底上展開。這個基底就是，正好對應了洛倫茨變換的六個參量。
如果我們關於空間作反演變換，角動量作為贗矢量符號不變，而速度作為矢量，其值變為原來的負數。因此式(3)僅僅反映了某個特定的手性（這裡是左旋）。在反演變換下我們可以得到右旋量，其變換規則由（去掉速度的負號）給出。注意左旋量和右旋量都是兩分量的，在狄拉克方程裡（見《量子力學的原理》），我們把左旋量和右旋量並在一起，就得到了四分量的狄拉克旋量。狄拉克旋量的變換矩陣就是4x4的分塊對角矩陣，左上角是左旋量的變換矩陣，右下角是右旋量的變換矩陣。因此這是個關於受限洛倫茲群，或者SL(2,C)的可約化表示，稱為狄拉克表示。我們可以把受限洛倫茲變換的6個參量寫在一個反對稱張量裡：，，其中代表單位反對稱張量。這樣狄拉克表示下的洛倫茲變換就由矩陣給出，其中（試著推導下式）。這裡的4x4矩陣 就是狄拉克方程裡的gamma矩陣。
因此我們對gamma矩陣的意義有了新的理解，每個時空軸都對應著一個4x4的gamma矩陣，然而這個矩陣是由兩個2x2的泡利矩陣拼接而成的。左上角的2x2矩陣給出了左旋量的變換法則，右下角的2x2矩陣給出了右旋量的變換法則。為什麼我們不能把狄拉克方程拆成兩個獨立描述左旋量和右旋量 的方程呢？因為它們之間有相互作用，即質量項。在標準模型中，這個質量項是由左右旋量和希格斯場的耦合產生的，因此質量反映了這個耦合的強度以及希格斯場對稱性破缺的程度。對於質量為0的自旋1/2粒子，狄拉克方程就可以拆分成兩個2x2的矩陣方程，稱為外爾方程。要注意的是，左旋粒子和右旋粒子並不遵循相同的自然規律，在電磁理論中的對稱性只是一個巧合。在弱相互作用中，左旋粒子和右旋粒子的規律完全不同，這就是由李政道，楊振寧和吳健雄共同發現的宇稱不守恆。大概原因是因為左旋粒子是二重態而右旋粒子則是單重態（SU(2)群=0 的表示），它們都可以參與U(1)的電磁作用，卻只有前者可以參與SU(2)的弱相互作用。
最後再考慮一下粒子的分類問題。由上面的分析可知，粒子作為SU(2)群的不可約表示，由總角動量 的特徵值（也就是粒子的自旋）來分類。這裡算符 的特殊性在於它跟角動量的三個分量都對易。一般的，我們把和所有李代數元素都對易的算符稱為卡西米爾算符。 就是關於空間轉動群SU(2)的卡西米爾算符。然而除了轉動變換之外，我們還需要考慮時空的平移。真正完整的時空對稱群是所謂的龐加萊群，由6維的時空旋轉加上4維的時空平移得到。容易驗證，也是龐加萊群的卡西米爾算符（比如）。因此嚴格地說，粒子作為龐加萊群的不可約表示，不僅要有確定的自旋 來標示，還要有確定的質量。其中自旋和質量分別是關於時空轉動和平動的卡西米爾算符的特徵值。
另外再談一談離散性。這門學科雖然被稱為量子力學，離散性卻並非必須的。比這更本質的是作為態空間的線形空間的概念，以及作為觀測量的線形算符的概念。離散性往往來自於觀測算符之間的非對易性，比如這一篇裡提到的角動量分量的非對易性，或者《量子場論(1)》裡提到的位置和動量的非對易性（這個非對易性給出了場的量子化）。另一方面，動量各分量之間就沒有非對易性，因此平面波的動量就不是離散的。這是從代數的角度看問題，從幾何的角度，則是空間的「緊性」導致了離散性。角動量考慮的就是緊的二維球面，因此上面只能容納離散的「球面諧波」。反之，三維空間本身是非緊的，因此可以容納動量連續的平面波。那麼位置和動量的非對易性對應了哪個緊的空間呢？可以對三維空間作球極投影，把單位球裡的投影到「北半球」，把單位球外的投影到「南半球」。注意到單位球的外部可以對應到動量單位球的內部（把空間上的無窮遠對應到動量的零點）。這樣包含了無窮的歐式空間（稱為空間的「緊化」）就對應了一個三維球面，因此也具有緊性。總結一下，量子力學裡的離散性可以認為是來自某種拓撲性質（緊性）。這點在我們以後會講到的規範場論裡顯得更為突出：如果把時空拓展成高維的「纖維叢」，那麼拓撲性質（陳省身示性類）可以給出離散的「拓撲荷」。