與三角形面積相關的系列知識

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今天講一講與三角形面積相關的一些知識。涉及三角形面只S，三角形三個頂點A、B、C和它們的對邊長度a、b、c，內切圓，旁切圓等知識內容。重點講一講三角形的半周長p。最後給出兩個公式及其證明。

我們知道三角形面積最簡單的公式是底乘高除以2。今天利用它可以把三角形面積用內切圓半徑和三邊長度表示。如上圖所示，有三角形ABC，圓I為它的內切圓，I為內心，D、E、F分別是三個切點，內切圓半徑為r。那麼不難看出，三角形的面積可以表示為：

為了公式的簡化和對稱性，數學界一般定義一個量叫做三角形的半周長：

於是三角形ABC的面積可以簡寫為：

為了研究和書寫的方便，我們需要給出下面一些量：

給出上面三個表達式不是無緣無故的。其實，這三個量所表示的是如下圖所示的三種不同切線的長度。

以從點A發出的切線AE、AF為例，有：

也就是說，三角形頂點A到內切圓的切線長度(下圖中紅色線段)等於三角形半周長減去頂點A的對邊長度a。同樣地，頂點B和C到內切圓的切線的長度也可以類似求出。其實不用求，輪換字母便可以得到。

觀察上圖，則對上面切線長度的定義不難理解。整個三角形的周長可以看成六條切線長度之和，而從一頂點發出的兩條切線一定等長(AE=AF，BF=BD，CD=CE)，所以，半周長就是不同頂點發出的三條切線的長度之和，也就是上圖中不同三種顏色線段的長度之和，即p=AE+BF+CD。那麼，紅色線段長度AE就等於半周長減去藍色線段長度BF再減去綠色線段長度CD，而「藍+綠」等於BD+CD就是BC，即a。所以，AE=p-a。

上面這些基礎知識是下面繼續研究的基礎。我們下面就要涉及旁切圓了。請看下圖：

上圖中，我們作出了與三角形頂點B相對的旁切圓，其圓心用IB表示，其半徑用rB表示。旁切圓IB與頂點B的對邊AC相切，切點為G；旁切圓與BA及BC的延長線也相切，切點分別為H和K。繼續觀察上圖，發現線段AH用的是之前用過的綠色，線段CK用的也是之前用過的紅色。這說明

AH=CD=CE=p-c，  CK=AE=AF=p-a

但這是為什麼呢？這是因為

AH+CK=AG+GC=AC=b

所以，

         BH+BK=(BA+AH)+(BC+CK)

                     =(c+AH)+(a+CK)

                     =c+a+(AH+CK)

                     =c+a+b=2p

而BH=BK，所以，頂點B到與它相對的旁切圓的切線長BH和BK都等於半周長p。BH中，BF為藍色，FA為紅色，所以，線段AH一定為綠色。類似地，線段CK一定為紅色。

繼續觀察上圖，可以看出兩個直角三角形BIF與BIBH相似。所以有：

(p-b) : p = r : rB

內項相乘等於外項相乘，即

rp=(p-b)rB

我們前面已經得出S=rp，所以，三角形ABC的面積還可以用旁切圓半徑表示：

同理可以得到：

有了上面一系列的知識鋪墊，我們就可以得到一些公式。第一個公式是：

證明過程如下：把剛才得到的四個面積公式即下面四個式子相乘：

得到

兩邊開平方，得

根據海倫公式：

所以，得到

第二個公式，是有關三角形內切圓半徑與三個旁切圓半徑之間關係的：

證明如下：把

改寫成：

所以，

證畢。