含參數二次函數恆成立問題轉化含一次函數恆成立問題,只需該方法

2021-01-10 玉w頭說教育

01引言

由二次函數型不等式恆成立問題求參數的取值範圍的方法很多，尤其是給出限定性區間所使用的方法，即

在某段區間上給出一個二次函數f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)大於0或者小於0恆成立，就可以使用不等式解集法、分離參數法、數形結合法等等。

這些方法都有其局限性，即 不是所有的題都可以解決。

例如分離參數法的使用，必須給出的區間在分離參數時要保證除以的變量是一個符號確定的數。

今天我們就來介紹一個比較好的方法——主參換位法。

圖一

02主參換位法介紹

那什麼是主參換位法呢？

主參換位法就是變換思維角度，即把變量與參數交換位置，構造以參數為變量的函數，根據原變量的取值範圍列式求解。

一般地，條件給誰的範圍，就看成有關誰的函數，利用函數的單調性求解。

一般給出的含有參數的二次函數的冪次項都是一次，所以這樣的主參換位法就相當於將二次函數的複雜性轉化成了一次函數的簡單性，簡單方便易理解。

03例題說明主參換位法的具體做法

例題：對任意m∈[－1,1]，函數f(x)=x^2+(m+4)x+4－2m的值恆大於零，則x的取值範圍？

圖二

這道題就是一個含有參數的二次函數，對於二次函數的變化且帶有參數，需要想到的點以及要談論的點一般是比較多的，往往由於這些會導致我們思想混亂無法解決。

如果將該含有參數的二次函數轉化成含有參數的一個函數，是不是就避免了很多麻煩呢？

第一步，轉換主參位置。

因為f(x)=x^2+(m－4)x+4－2m=(x－2)m+x^2－4x+4，則令g(m)=(x－2)m+x^2－4x+4。

由題意可知m在區間[－1,1]上f(x)恆大於0，所以上述的問題就轉化為g(m)在定義有區間[－1,1]上g(m)>0恆成立。

圖三

這樣就將參數和自變量x變換了位置。

第二步，根據一次函數的單調性轉化成恆成立的條件。

因為函數g(m)>0在區間[－1,1]恆成立，且一次函數要麼是單調遞增，要麼就是單調遞減，所以只需滿足兩個端點大於0即可。

即g(－1)>0且g(1)>0。

即(x－2)×(－1)+x^2－4x+4>0和(x－2)+x^2－4x+4>0，解得到x<1或者x>3.

綜上所述，故當x∈(－∞,1)∪(3,+∞)時，對任意的m∈[－1,1]函數f(x)的值恆大於0.

04總結

含有參數的二次函數在某段固定的區間上求恆成立的問題，往往是比較繁瑣的，也是比較易錯易亂的。

圖四

因為二次函數與區間變化時出現的情況多樣性和參數區間變化時的多樣性情況使得問題更加的多樣性、複雜性，往往使得問題更加複雜難以梳理情況而造成漏解或者多解的情況。

面對這些情況，我們需要儘量的將二次函數轉換成一次函數來求解，一方面一次函數的單調性已知、圖像模型簡單；二是隨著變量變化的情況也不複雜，變化的情況無非有兩種，一是單調遞增，一個是單調遞減。

所以將含有參數的二次函數的恆成立問題轉化成含有參數一次函數恆成立問題的方法是非常有必要的，即主參換位法的重要性。

相關文章：

恆成立問題轉化方法你知道幾個？方法的局限性限制了你的靈活轉化

含字母二次函數不等式恆成立問題，知固定變形，太簡單，常考內容

分段函數單調性需要注意哪些？易錯題，很多同學中招，因不知這些

定區間定零點求參數？高考數學常考，經典題型，掌握方法穩拿分

高中數學，二次函數的圖像和性質大全及兩大類型題，高考常考內容

相關焦點

  • 含有參數和絕對值的二次函數不等式恆成立問題,這樣做才簡單須知
    使用常規方法：因為是二次函數不等式，所以可以根據二次函數不等式恆成立的轉化方式去做，但是由於該二次函數對稱軸的不確定性再 加上絕對值，該題使用該方法不僅複雜且計算量比較大。y=x^2－4x－5是二次函數，該二次函數的圖像在區間[－1,5]上恰好是小於等於0，則要想去掉絕對值，需要在該函數的前面加上負號。即不等式kx+3k>|x^2－4x－5|轉化為kx+3k>－(x^2－4x－5)。第二，得出函數y=－(x^2－4x－5)在區間[－1,5]上的圖像。
  • 恆成立問題轉化方法你知道幾個?方法的局限性限制了你的靈活轉化
    像這樣含有參數使兩個函數都無法畫出圖像的情況，就不能用圖像法來解答該恆成立問題了。那需要用什麼方法呢？要想解決這個問題，需要我們知道，解決恆成立的問題都能用到什麼方法，否則這種局限性會起到至關的決定性。
  • 高中數學函數恆成立問題的解題方法:四字箴言化腐朽為神奇
    導讀：由於函數恆成立能成立問題很抽象，是讓很多同學比較頭疼的一個專題，它考察的範圍也很廣，主要涉及到一次函數、二次函數、三角函數、指數函數和對數函數等常見函數的圖像和性質，要求大家熟練掌握換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，而今天這節課就帶領大家掌握四字箴言，就可以化抽象為具體，化腐朽為神奇
  • 高中數學,函數、數列與恆成立相結合的綜合題,學好這些學渣可解
    在前面的文章中講解了函數的一些性質，其中就包括函數的遞推形式f(x)=4f(x+2)；也講了數列的通項和求前n項和的方式方法，這裡就是一個普通的求數列的前n項和的形式；還講了恆成立問題的各種轉化形式。所以前面內容看過了，這道題就是送分題！下面我們就來看一下該題的思路。
  • 難以理解「或」不等式恆成立問題,帶你剖析兩點,頓時如撥雲見日
    這裡給出的函數g(x)，它在任意的x∈R時，是不滿足g(x)>0恆成立的。只有當x>1時，函數g(x)>0才恆成立，此時函數f(x)恆不恆成立都滿足題意。所以當x≤1時，函數f(x)就一定是恆成立的才滿足題意，因為此時函數g(x)>0一定不成立。所以上述的問題又轉化成：當x≤1時，函數f(x)>0恆成立。
  • 2019高考數學備戰,轉化為二次函數解決問題,求最值、參數範圍
    高中階段，在各種函數中，二次函數應用非常廣泛，它可以和各種函數相結合，很多題型需要先把其它形式的函數轉化為二次函數，再利用二次函數的性質才能最終解決問題，歷屆高考已經多次這麼考察，所以大家要重視這一問題，本節課通過兩道高考真題講解什麼情況下需要以及如何把其它函數問題轉化為二次函數問題。
  • 破解含參數的二次函數問題,看後會不懼二次函數難題,學渣變學霸...
    中考中有些難度較大的所謂二次函數難題，是把二次函數進行一定的包裝，解決這類問題，就是解開包裝，找出問題的本源，通過一定的途徑再轉化二次函數問題來解決，其實這些題目的本質還是考查二次函數的圖像、性質等基本問題，藉助二次函數的圖像數形結合思想來解決問題。
  • 高中數學:關於二次函數與冪函數的複習資料+習題講練PPT
    技巧總結歸納：1.冪函數的形式是y＝x^α(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式.2.若冪函數y＝x^α(α∈R)是偶函數，則α必為偶數.當α是分數時，一般先將其化為根式，再判斷.3.若冪函數y＝x^α在(0，＋∞)上單調遞增，則α＞0，若在(0，＋∞)上單調遞減，則α＜0.
  • 高考考點解讀:二次函數與冪函數
    考向分析考向一 求二次函數或冪函數的解析式1．求二次函數解析式的方法求二次函數的解析式，一般用待定係數法，其關鍵是根據已知條件恰當選擇二次函數解析式的形式．一般選擇規律如下：2．求冪函數解析式的方法考向三 二次函數的圖象及性質的應用高考對二次函數圖象與性質進行單獨考查的頻率較低，常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題，考查二次函數圖象與性質的應用，以選擇題、填空題的形式呈現，有時也出現在解答題中，解題時要準確運用二次函數的圖象與性質，掌握數形結合的思想方法.常見類型及解題策略：
  • 小π帶你看導數恆成立之隔離法
    在小π看來，隔離法就是通過變式化簡（因式分解是常用手段），把複雜的函數化成一些簡單易求導分析的函數。這些複雜的函數通常含有指數函數、對數函數部分，尤其是當指數和對數相乘時，無限求導也消除不了指數和對數部分。小π帶你看一道例題，2014年的課標卷一的導數題第二問。那又是怎樣想到把函數化簡隔離成這樣的。
  • 二次函數的幾何性質
    02、二次函數的高寬比    所謂「高寬比」    其實就是函數上兩點之間的「鉛錘高」和「水平寬」之比。在一次函數中，高寬比基本可以看做高中的斜率。    初中一共學三種函數（什麼？你說三角函數不算函數？）除了一次函數，還有二次函數和反比例函數，其實這三種函數的高寬比都有各自的特點。比如一次函數的高寬比就是解析式裡的k，並且和所取的兩點無關，也就是一次函數上任意兩點的高寬比都為k(k為定值則高寬比為定值)。
  • 高考數學,不含參數的函數值域解題技巧及其考點
    高考數學中不含參數的函數值域解題技巧及其考點函數的值域問題大概分為兩大類，一類是含有參數的函數進行相關值域的求解，一類是不含參數的函數值域的求解。今天這次課我們重點講解不含參數的值域的考點及其相關的解題技巧。
  • 這題型會了,基本不等式基本就不是問題了,繞了兩個彎,都是重點
    01引言基本不等式這塊內容一般出現的題只要使用基本不等式即可計算，但是也存在一些特別的情況，但不管怎麼變化，只需基本不等式變形即可。圖三所以這道題，我們要轉化思想，將x用y來表示，這樣求解x+y的值就變成了只關於y變量的式子了——這是我們需要知道的一個重點！第一步，將x用y來表示。
  • 2018高考函數的周期性複習(含練習)
    周期性是函數非常重要的一個性質，是函數中非常重要的一個概念！雖然在教材中沒有多大篇幅的敘述，但是它在高考也是一個常考點！靈活應用函數的周期性，可以巧妙的解答某類數學問題。我始終認為理解數學定義對於數學學習有著非常大的幫助！所以對於這一個問題我們要先從定義開始！
  • 19年全國二卷理科數學,抽象函數求參數範圍?穩拿分須知固定模板
    02當x≤0時，函數f(x)≥－8/9是否成立因為該題中只給出f(x)在區間（0,1]圖二所以當x≤0時，函數f(x)>－8/9是恆成立的。此時函數f(x)的最小值：f(x)=4(x－2)(x－3)=4(x－5/2)^2－1，此時f(x)min=－1.因為－1<－8/9，所以此時f(x)≥－8/9不恆成立。所以當x≤2時，f(x)≥－8/9恆成立。
  • 高考數學解題技巧:如何破解多元函數求最值問題?
    多元函數是高等數學中的重要概念之一，但隨著新課程的改革，高中數學與大學數學知識的銜接，多元函數的值域與最值及其衍生問題在高考試題中頻頻出現。同時，多元函數最值問題中蘊含著豐富的數學思想和方法，而且有利於培養學生聯想、化歸的解題能力。
  • 10道例題,助你學會高中數學「指數函數」有關問題的基本技能
    與指數函數的圖像與性質有關的題型較多，包括與函數固有的基本屬性如定義、定義域、值域、單調性、奇偶性等有關的基本問題，以及恆過定點、恆成立、存在性、值域/最值、方程、不等式等綜合應用問題。其中，函數圖像若為大家所熟知的，則通常題目較簡單；若以複合函數形式出現，則一般題目更難些。
  • 不要怕參數,更不要怕參數多,解含參二次函數壓軸題
    不要怕參數，更不要怕參數多，解含參二次函數壓軸題在有些地區的中考壓軸題中，二次函數幾乎成為命題的首選，原因當然是它能綜合的內容比較多，本身也足夠複雜。較為簡單的情況下，會給出二次函數解析式，如果含有參數，第一小問也能給出條件解決；較為複雜的情況下，參數無法消去，得一直留著。針對後者，變化較多，難度也較大。
  • 高中數學 | 函數與代數知識的綜合題
    成立，且，得對大於1的所有正整數n恆成立，求實數m的取值範圍。分析：本題滲透著函數的思想方法和換元法，把f(n)看作n的函數是求解的關鍵。在（1）中為確定），判斷f(n)為減函數即可；（2）先求f(n)的最小值f(2)，再把原不等式等價轉化成
  • 高考函數單調性類問題,難,但用上導數將事半功倍
    從近幾年高考數學試捲來看，導數及導數的應用成為高考的熱點，尤其是用導數求函數的單調性有關的試題已經是高考數學的熱點。利用這一性質可以證明不等式問題、在恆成立問題中求參數的範圍、研究函數的極值與最值。用導數的性質研究函數的單調性成為必考內容，這就要求學生既要對導數知識極其熟悉，還需要有豐富的應試技巧，從而獲得高分。我們在解決導數求函數的單調性有關的試題時候，常常需要對參數進行討論，而如何討論？討論的依據是什麼？這個問題是困擾考生的一大難題，也是大家需要解釋清楚的問題。