說說立體幾何中的歐拉公式及其應用

任意一個多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的。如果充以氣體，那麼它就會連續（不破裂）變形，最後可變為一個球面。像這樣，表面連續變形，可變為球面的多面體叫做簡單多面體。

簡單多面體的頂點數V、稜數E及面數F有關係V+F-E=2。這就是歐拉公式。

記憶時，可記為「1（點即為一個點）+3（面由不共線三個點確定）-2（線由兩個點確定）=2」，即「點+面-線=2」。

多面體至少有4個面、有6條稜、4個頂點。

下面給出歐拉公式的證明。

證明: 設多面體的各面為ni邊形（i=1,2,3…,F）。由於多面體的每一條稜都只屬於兩個面多邊形，故有

又由內角和定理得，多面體所有面角的總和為

另一方面，我們想像多面體表面是橡皮做的，可以把它壓成平面圖形，使其中一個為最大，其它各多邊形都包圍它的內部，如下圖。

在上圖的變形過程中，頂點數V、稜數E都沒有變化，每個多邊形雖然形狀變了但邊數沒有變化，假設最大的多邊形邊數為，那麼被包圍在它內部的頂點數為個（V-n)，可見被包圍的多邊形所有內角和為(V-n)*2π+(n-2)*π，再加上最大的多邊形內角和(n-2)*π，可得

比較前述兩式得，

即V+F-E=2。

下面來看一看它的一些應用。

例1， 正多面體的每個面都是正n邊形，頂點數是V，稜數為E，面數是F，每個頂點連的稜數是m，則它們之間不正確的關係是

(A)mF=2E; (B) mV=2E; (C)nF=2E; (D)V+F=2+E

分析： 選項(D)即為歐拉公式,正確。

考慮正四面體，V=4，F=4，E=6,n=3,m=3這時四個選項全部正確；

考慮正六面體（正方體）V=8，F=6，E=12,n=4,m=3, 這時只有（A）不正確。

例2 , 用相隔10度的經線和相隔10度的緯線將地球分割成若干部分，將各部分球面看成平面，得到一個凸多面體，求這個凸多面體的頂點數V、面數F、稜數E。

分析： 按此分法，共有17個緯度圈、1個北極點、1個南極點，共有18條經線，每條經線與17條緯度圈的每一圈有2個交點、與17條緯度圈檢有36個交點，這樣17條緯度圈 與18條經線共有17×36個交點，再加上兩個極點，共有

個交點。

17條緯度圈把球面分成18部分，每部分又被18條經線分成36個表面，共得18×36=648個表面，即F=648。再由歐拉公式V+F-E=2得稜數E=1260。

例3, 已知多面體的每個面都是五邊形，每個頂點出發的稜數都是3，求它的面數、頂點數、稜數。

分析: 每個面有5條邊，一共有5F條邊，得E=5F/2。每個頂點出發的稜數都是3，得E=3V/2。代入歐拉公式V+F-E=2得E=30，V=20，F=12，即所求面數F=12、頂點V=20、稜數E=30。

例4 , 以正六面體各面中心為頂點作一個正八面體，求它們的表面積之比。

分析: 如圖1，這個正八面體也可以看成由正方形底面重合的兩個正四稜錐拼接面成的幾何體,如圖2。設原來正六面體邊長為1，

表面積

點擊

得表面積之比

例5 , 求證：每個面都是同邊數的多邊形，同一點出發的稜數相等，這樣的多面體只有5種。

分析: 設從該多面體的每一頂點發出m條稜，有個V頂點，共發出mV條稜。由於每一條稜都有兩個頂點，得到mV=2E。設每一個面都是n邊形，即有n條稜，F個面，共有nF條稜，但每條稜又都是相鄰兩個面的邊，得到nF=2E。代入歐拉公式得，

而

得

當時得n=3時,得到

當時得n=4時,得到

當時得n=5時,得到

所以對應的多面體只有5種：正四面體、正八面體、正二十面體、正六面體、正十二面體。

【練習題】

練習1 , 試證不存在7條稜的多面體。

（答：用反證法。若E=7，則V+F-7=2，即V+F=9，但 V>=4，F>=4，所有只有V1=4、F1=5; V2=5、F2=4; 這是不可能的）

練習2 ,已知凸多面體的各面都是四邊形，求V-F。（答：2）

練習3 , 已知一個簡單多面體的各個頂點都有3條稜，求2F-V。（ 答：4）

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