讓你立刻愛上數學的10個算術遊戲

　　死理性派的小編經常會被問到的一個問題：數學到底哪裡有趣了，數學之美又在哪裡？這篇文章精心選擇了10個老少鹹宜的算術問題，以定理、趣題甚至未解之謎等各種形式帶領大家窺探數學世界的一角。不少問題背後都蘊含了深刻的數學知識，觸及到數學的各個領域。希望從小數學就不及格的朋友們能夠喜歡上數學這門充滿樂趣的學科。

　　數字黑洞6174

　　任意選一個四位數（數字不能全相同），把所有數字從大到小排列，再把所有數字從小到大排列，用前者減去後者得到一個新的數。重複對新得到的數進行上述操作，7步以內必然會得到6174。

　　例如，選擇四位數6767：

　　7766-6677=1089

　　9810-0189=9621

　　9621-1269=8352

　　8532-2358=6174

　　7641-1467=6174

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　　6174這個「黑洞」就叫做Kaprekar常數。對於三位數，也有一個數字黑洞——495。

　　3x+1問題

　　從任意一個正整數開始，重複對其進行下面的操作：如果這個數是偶數，把它除以2；如果這個數是奇數，則把它擴大到原來的3倍後再加1。你會發現，序列最終總會變成4,2,1,4,2,1,…的循環。

　　例如，所選的數是67，根據上面的規則可以依次得到：

　　67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,

　　52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...

　　數學家們試了很多數，沒有一個能逃脫「421陷阱」。但是，是否對於所有的數，序列最終總會變成4,2,1循環呢？

　　這個問題可以說是一個「坑」——乍看之下，問題非常簡單，突破口很多，於是數學家們紛紛往裡面跳；殊不知進去容易出去難，不少數學家到死都沒把這個問題搞出來。已經中招的數學家不計其數，這可以從3x+1問題的各種別名看出來：3x+1問題又叫Collatz猜想、Syracuse問題、Kakutani問題、Hasse算法、Ulam問題等等。後來，由於命名爭議太大，乾脆讓誰都不沾光，直接叫做3x+1問題算了。

　　直到現在，數學家們仍然沒有證明，這個規律對於所有的數都成立。

　　特殊兩位數乘法的速算

　　如果兩個兩位數的十位相同，個位數相加為10，那麼你可以立即說出這兩個數的乘積。如果這兩個數分別寫作AB和AC，那麼它們的乘積的前兩位就是A和A+1的乘積，後兩位就是B和C的乘積。

　　比如，47和43的十位數相同，個位數之和為10，因而它們乘積的前兩位就是4×(4+1)=20，後兩位就是7×3=21。也就是說，47×43=2021。

　　類似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。

　　這個速算方法背後的原因是，(10x+y)(10x+(10-y))=100x(x+1)+y(10-y)對任意x和y都成立。

　　幻方中的幻「方」

　　一個「三階幻方」是指把數字1到9填入3×3的方格，使得每一行、每一列和兩條對角線的三個數之和正好都相同。下圖就是一個三階幻方，每條直線上的三個數之和都等於15。

　　大家或許都聽說過幻方這玩意兒，但不知道幻方中的一些美妙的性質。例如，任意一個三階幻方都滿足，各行所組成的三位數的平方和，等於各行逆序所組成的三位數的平方和。對於上圖中的三階幻方，就有

　　8162+3572+4922=6182+7532+2942

　　利用線性代數，我們可以證明這個結論。

　　天然形成的幻方

　　從1/19到18/19這18個分數的小數循環節長度都是18。把這18個循環節排成一個18×18的數字陣，恰好構成一個幻方——每一行、每一列和兩條對角線上的數字之和都是81（註：嚴格意義上說它不算幻方，因為方陣中有相同數字）。