歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，正方形是最特殊的四邊形，解決正方形判定題目，一定要有綜合觀念，能結合四邊形、平行四邊形、菱形、矩形的判定及性質來思考解決正方形判定的問題.
【知識梳理】
1.鄰邊相等+一個直角+平行四邊形=正方形；
2.對角線相等+菱形=正方形；
3.一個直角+菱形=正方形；
4. 對角線垂直+矩形=正方形；
【典型例題】
例1．下列說法中，正確個數有（ ）
①對頂角相等；②兩直線平行，同旁內角相等；③對角線互相垂直的四邊形為菱形；
④對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解析】
①對頂角相等，故①正確；
②兩直線平行，同旁內角互補，故②錯誤；
③對角線互相垂直且平分的四邊形為菱形，故③錯誤；
④對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形，故④正確，故選：B．
例2．下列說法中，正確的是（ ）
A．兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等
B．對角線相等的平行四邊形是正方形
C．相等的角是對頂角
D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等
【解析】
A、兩條平行線被第三條直線所截，內錯角才相等，錯誤，故本選項不符合題意；
B、對角線相等的四邊形是矩形，不一定是正方形，錯誤，故本選項不符合題意；
C、相等的角不一定是對頂角，錯誤，故本選項不符合題意；
D、角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，正確，故本選項符合題意；故選：D．
例3．下列命題正確的是（ ）
A．對角線互相垂直的四邊形是菱形
B．一組對邊相等，另一組對邊平等的四邊形是平行四邊形
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
【解析】
A、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故本選項錯誤；
B、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故本選項錯誤；
C、對角線相等的四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本選項錯誤；
D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故本選項正確．故選D．
例4.在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交於點O，要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件，下面給出的四組條件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD，其中正確的序號是__________
【解析】
（1）由AB⊥AD可得ABCD是矩形，由AB=AD，鄰邊相等的矩形是正方形，①正確；
（2）BD為對角線，AB是平行四邊形的邊，故由AB=BD推導不出平行四邊形是正方形，②錯誤；
（3）由OB=OC可得AC=BD，由OB⊥OC可得AC⊥BD，對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，③正確；
（4）由AB=AD可知ABCD是菱形，由AC=BD，對角線相等的菱形是正方形，④正確；故①③④正確.
例5．關於ABCD的敘述，正確的是（ ）
A．若AB⊥BC，則ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，則ABCD是正方形
C．若AC=BD，則ABCD是矩形
D．若AB=AD，則ABCD是正方形
【解析】
∵ABCD中，AB⊥BC，∴四邊形ABCD是矩形，不一定是菱形，選項A錯誤；
∵ABCD中，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，不一定是正方形，選項B錯誤；
∵ABCD中，AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，選項C正確；
∵ABCD中，AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形，不一定是正方形，選項D錯誤；故選：C．
例6.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．
【解析】
（1）首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；
（2）由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內角和定理可得∠CBE=180÷4=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．
證明：
（1）△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×2/8=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形．
例7.如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA 上的動點，且AE=BF=CG=DH.
（1）求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）判斷直線EG是否經過一個定點，並說明理由；
【解析】
（1）證△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG，先證EFGH是菱形，再利用「有一角是直角的菱形是正方形」求證；
證明：∵四邊形ABCD是正方開有，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG，∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四邊形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴菱形EFGH是正方形；
（2）直線EG經過一個定點，這個定點為正方形的中心，即對角線的交點，連接AC、EG，利用△AOE≌△COG可得出結論；
解：直線EG經過一個定點，這個定點為正方形的中心（AC、BD的交點）；理由如下：
連接AC、EG，交點為O；如圖所示： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCG，
∴△AOE≌△COG（AAS）， ∴OA=OC，即O為AC的中點， ∵正方形的對角線互相平分，
∴O為對角線AC、BD的交點，即O為正方形的中心；