文|冷絲欄目|絲說中小學教育
一個看似是生活中的常識問題,實際上是一道針對初中生的數學智力題,愛因斯坦曾經接受過挑戰,較為完美地解決了難題。這道題目被介紹到我國以後,也曾經難倒了很多中學、大學生和家長。
冷絲今天帶你領略一下被譽為世界第一大腦的大科學家愛因斯坦做過的這道數學題,你挑戰一下,看看能否完成答案?
由生活中的常識引出的數學難題,養病的愛因斯坦圓滿解出答案。
物理學家愛因斯坦是全世界公認的「第一大腦」,智商無人匹敵。一次,他生病了,躺在醫院裡休養,他的很多朋友都到醫院裡來看他。其中一位是著名的數學家莫希柯夫斯基,他為了安慰病中的愛因斯坦,設計了一道有趣的數學題,來源於生活中的一些常識,希望能給愛因斯坦當做消遣,娛樂他一下。
莫希柯夫斯基說:鍾針的位置在12點鐘時,把長針(時針)與短針(分針)對調一下,他們所指的還是合理的。但在其他的時候,比如在6點鐘,兩針對調後就成了笑話,這種位置是不可能的,當時針指12點時,分針決不會指6點方向。
因此,生活中的常識引出了一個數學問題,數學家給物理學家提出的問題是這樣的:鍾針在什麼位置的時候兩針可以對調,使對調後的新位置仍能是實際上的時間?
不料愛因斯坦很快就回答:「是的,這對病在床上的人的確是個很好的問題,夠有趣味而又不太容易。只是恐怕消磨不了多少時間,我已經快要解出來了!」
愛因斯坦在床上側起身子,從枕頭旁邊拿了一張紙用鉛筆畫了草圖,表示問題中的條件。然後,他得到一個不定方程組,求出它的整數解。
有意思的是,愛因斯坦解決這個問題的時間並不比他的朋友莫希柯夫斯基敘述這個問題用的時間長,贏得了數學家的極力讚賞。
冷絲也很好奇,想問你的是:物理學家愛因斯坦是怎樣解這個時針對調問題的呢?
該如何用數學的方法解決考過愛因斯坦的時鐘難題?
其實,上文已經給你暗示過,解決這道題目需要運用幾何圖形和不定方程組,一般來說,一名初中生所學掌握的數學知識是完全可以做到的。
由鐘面上標12的點算起,全周分為60度劃。因為分針每小時繞中心轉一圈,而時針在同一時間內只繞中心轉12分之一圈。所以,鐘面上的每一度劃即全周的60分之一,分針走起來要一分鐘,而時針就要10分之一分鐘了,由此得下面的解決辦法。
設某一時刻為x點y分(如圖),則分針在離12點有y度劃,時針在z度劃的地方。這時,(x小時y分)分針共走了(60x+y)度劃,則時針走了60x+y的12分之一。
即z=60x+y/12 (1)
又設兩針對調位置後,兩針所指的時間為x點z分,則時針離12點為y度劃。這時應有這個結果:
y=60x1+z/12 (2)
由(1)(2)組成方程組得到這樣的一組結果:
y=60(x+12x1)/143
z=60(x1+12x)/143
由於上方程組的x、x1表示的是鐘點,所以:
x=0、1、2、3、4、5、…11;
x1=0、1、2、3、4、5、…11。
x的每一個數值與x1的各個數值配成一組,將這一組代入上述方程組,相應地得到一組y、z的值,從而得到時間對調前後的時間。
同時,又因為當x=x1=0時與x=x1=11得到同一組y、z的值,即都是12點。由此可見,總共有12×12-1=143個解答答案。
冷絲提醒你,你看懂了這樣的解決辦法嗎?
我們再來看兩個具體的例子,進一步了解一下。
一是當x=1且x1=1時,
y=60×13/143=5+5/11,即對調鍾針前後的時間都是1點5+5/11分,或者說是兩個鍾針在1點5+5/11重合是可以對調。
二是當x=5,x1=8時,
y=60(5+12×8)/143=42.38;
z=60(8+12×5)/143=28.53。
那麼,相應的時間是:5點42.38分和8點28.53分。
冷絲最後想說的是,學習真是一件奇妙的事情,你只要掌握了一定的數學基礎知識,面對很多難題,其實是不用為難的。