我們從摺紙的過程中得到了線段垂直平分線的性質定理，大家知道這是不夠的，如何利用公理及已學過的定理推理、證明它？下面介紹它們的幾種證明方法。
要想證明PA＝PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等。證明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS)．
∴PA＝PB(全等三角形的對應邊相等)。
原命題的條件是「有一個點是線段垂直平分線上的點」．結論是「這個點到線段兩個端點的距離相等」。反過來，如果PA =PB，那麼點P 是否在線段AB 的垂直平分線上呢？
方法一，證明：過點P作已知線段AB的垂線PC．∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC＝BC，
即P點在AB的垂直平分線上。
方法二，取AB的中點C，過PC作直線．
∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等)．
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．
∴P點在AB的垂直平分線上。
方法三，過P點作∠APB的角平分線．
∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，
∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)．
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
∴P點在線段AB的垂直平分線上。
方法四，
過P作線段AB的垂直平分線PC．
∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，
∴P在AB的垂直平分線上。
從推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理。
本節課是在學生學習了三角形的有關知識，證明一的基礎上學習的，既是證明一的延伸，又為今後學習證明三打好基礎，具有承上啟下的重要作用。